Question

Основание пирамиды- ромб с углом 30 градусов . Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если радиус вписанной в ромб окружности равен √3 см (помогите пожалуйста)

Answer 1

Пусть H - высота пирамиды PABCD, основание которой - ромб ABCD с углом 30o при вершине A, PM - перпендикуляр, опущенный на сторону BC. По теореме о трех перпендикулярах HM $ \perp$ BC. Значит, PMH - линейный угол двугранного угла между боковой гранью BCP и плоскостью основания ABCD. Поэтому $ \angle$PMH = 60o.

Опустив перпендикуляры из вершины P на остальные стороны ромба и рассмотрев полученные прямоугольные треугольники с общим катетом PH и противолежащим углом, равным 60o, докажем, что точка H равноудалена от всех четырех прямых, содержащих стороны ромба ABCD. Поэтому H - центр окружности, вписанной в этот ромб, т.е. точка пересечения его диагоналей.

Опустим перпендикуляр BF из вершины ромба на сторону AD. Тогда BF = 2r. Из прямоугольного треугольника ABF находим, что AB = 2 . BF = 4r. Значит,

S(ABCD) = AD . BF . sin 30o = AB . BF . sin 30o = 8r2.

Из прямоугольного треугольника PMH находим, что

PH = HM . tg60o = r$\displaystyle \sqrt{3}$.

Следовательно,

V(PABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$S(ABCD) . PH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$8r2 . r$\displaystyle \sqrt{3}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{8}{3}}$r3$\displaystyle \sqrt{3}

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды. Давайте разберемся.

По описанию задачи, у нас есть ромб с углом 30 градусов. Это означает, что один угол ромба равен 30 градусам, а его диагонали пересекаются под углом 60 градусов.

Мы также знаем, что радиус вписанной в ромб окружности равен √3 см.

Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды, нам нужно найти высоту этой пирамиды и длину бокового ребра.

1. Найдем высоту пирамиды: Высота пирамиды - это расстояние от вершины пирамиды до центра основания ромба. Мы можем использовать свойства равностороннего треугольника. Половина одной из диагоналей ромба будет равна радиусу вписанной окружности, то есть √3 / 2 см.

Теперь мы можем найти высоту пирамиды, используя теорему Пифагора:

высота^2 + (половина диагонали ромба)^2 = длина бокового ребра^2

высота^2 + (√3 / 2)^2 = длина бокового ребра^2

высота^2 + 3/4 = длина бокового ребра^2

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды:

высота^2 = длина бокового ребра^2 - 3/4

высота = √(длина бокового ребра^2 - 3/4)

2. Найдем длину бокового ребра: Для этого мы можем использовать свойства ромба. Одна из диагоналей ромба делит его на два равнобедренных треугольника. Длина бокового ребра пирамиды будет равна удвоенной длине одной из сторон ромба, так как у нас есть два таких треугольника.

Длина одной стороны ромба равна радиусу вписанной окружности, то есть √3 см. Таким образом, длина бокового ребра равна 2 * √3 = 2√3 см.

3. Теперь, когда у нас есть высота и длина бокового ребра, мы можем найти площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

Площадь боковой поверхности = (периметр основания * высота) / 2

Периметр основания ромба равен 4 * длина стороны ромба (4 * 2√3 = 8√3 см).

Площадь боковой поверхности = (8√3 см * высота) / 2

Теперь мы можем подставить значение высоты:

Площадь боковой поверхности = (4√3 см * √(длина бокового ребра^2 - 3/4)) / 2

Площадь боковой поверхности = 2√3 см * √(4√3^2 - 3/4)

Площадь боковой поверхности = 2√3 см * √(48 - 3/4)

Площадь боковой поверхности = 2√3 см * √(191/4)

Площадь боковой поверхности = 2√3 см * (√191 / 2)

Площадь боковой поверхности = √3 * √191 см^2

Площадь боковой поверхности = √(3 * 191) см^2

Площадь боковой поверхности ≈ √573 см^2

Итак, площадь боковой поверхности пирамиды при данных условиях составляет примерно √573 квадратных сантиметра.