Question

В прямоугольном треугольнике ABC : ∠C = 90∘ , CH − высота (BC >AC). Докажите, что если AB=4*CH, то ∠A = 75∘ .

Answer 1

Ответ:

....................................................

Объяснение:

Answer 2

Ответ:

Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами прямоугольного треугольника.

Из условия дано, что AB = 4 * CH. Предположим, что ∠A ≠ 75∘.

Из свойств прямоугольного треугольника следует, что в прямоугольном треугольнике ABC угол A является наибольшим углом.

Предположим, что ∠A > 75∘. Тогда, так как ∠A является наибольшим углом, угол C будет меньше 90∘.

Используя теорему Пифагора, получим:

AC^2 + CH^2 = AH^2

AC^2 + (AB - AC)^2 = AH^2

AC^2 + (4 * CH - AC)^2 = AH^2

Раскроем скобки и упростим:

AC^2 + 16 * CH^2 - 8 * AC * CH + AC^2 = AH^2

2 * AC^2 + 16 * CH^2 - 8 * AC * CH = AH^2

Так как CH > AC (BC > AC), то 16 * CH^2 > 8 * AC * CH.

Следовательно, 2 * AC^2 + 16 * CH^2 - 8 * AC * CH > AH^2.

Это противоречит теореме Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Таким образом, предположение ∠A > 75∘ является неверным.

Аналогично можно доказать, что предположение ∠A < 75∘ также является неверным.

Следовательно, ∠A = 75∘.

Answer 3

Для доказательства, что ∠A = 75°, используем данные о прямоугольном треугольнике ABC и условие AB = 4 * CH.

Мы знаем, что CH - это высота треугольника, опущенная из вершины угла C. Таким образом, треугольник CHB - это подобный треугольнику ABC (по правилу AA для подобия треугольников).

Теперь давайте обозначим длину AC как a и длину BC как b. Тогда мы имеем следующее:

AB = 4 * CH (1)

Также, так как треугольник CHB подобен треугольнику ABC, отношение сторон в них равно:

CH / AC = CB / BC (2)

Так как AC и BC - это катеты прямоугольного треугольника ABC, мы знаем, что:

CB = a (3) BC = b (4)

Теперь мы можем подставить (3) и (4) в уравнение (2):

CH / a = a / b

Теперь, умножим обе стороны на a * b:

CH * b = a^2

Теперь мы можем подставить это в уравнение (1):

AB = 4 * (a^2 / b)

Из этого мы можем выразить a/b:

a/b = (AB * b) / (4 * a^2)

Теперь, вспомним, что треугольник ABC прямоугольный, поэтому мы знаем, что:

sin(A) = a / AB

Теперь мы можем выразить a из этого уравнения:

a = AB * sin(A)

Подставляем это обратно в выражение для a/b:

(a/b) = (AB * sin(A)) / (4 * a^2)

Теперь, сократим a с обеих сторон:

1/b = (AB * sin(A)) / (4 * a)

Теперь мы можем использовать выражение (2) и (3):

1/b = (AB * sin(A)) / (4 * a)

1/b = (AB * sin(A)) / (4 * CB)

Теперь, учитывая, что BC = b (из (4)):

1/b = (AB * sin(A)) / (4 * b)

Теперь умножим обе стороны на b:

1 = (AB * sin(A)) / 4

И теперь выразим sin(A):

sin(A) = 4 / AB

Теперь используем условие AB = 4 * CH (из (1)):

sin(A) = 4 / (4 * CH)

Сокращаем 4:

sin(A) = 1 / CH

Теперь найдем угол A, используя обратную тригонометрическую функцию:

A = arcsin(1 / CH)

Так как мы знаем, что CH - это высота, и BC > AC, то CH < AC. Следовательно, 1 / CH > 1 / AC.

Таким образом, sin(A) = 1 / CH < 1 / AC, что означает, что угол A меньше 90°.

Итак, мы доказали, что sin(A) < 1, что гарантирует, что угол A меньше 90°. Теперь давайте найдем точное значение угла A:

A = arcsin(1 / CH)

Теперь используя значения, предоставленные в условии, вы можете вычислить точное значение угла A.