Question

Равнобедренный треугольник ABC (AB =BC) вписан в окружность. Диаметр CD пересекает сторону AB в точке M такой, что BM = k *MA. Найти отношение DM :MC.

Answer 1

В треугольнике АВС:
BC=AB=BM+MA=k*MA+MA=MA(k+1)  (дано).
В треугольнике МВС имеем: MB/BC=MO/OC (так как ВО - биссектриса <ABC).
Или k*MA/MA(k+1)=MO/OC, или MO/OC=k/k+1.
Отсюда MO=k*R/(k+1), так как ОС=R.
DM=R-MO=R-k*R/(k+1)=[R(k+1)-kR]/(k+1)=R(k+1-k)/(k+1)=R/(k+1).
MC=R+MO=R+k*R/(k+1)=[R(k+1)+kR]/(k+1)=R(k+1+k)/(k+1)=R(2k+1)/(k+1).
Тогда DM/MC=(R/(k+1))/(R(2k+1)/(k+1))=1/2k+1.
Ответ: DM:MC=1/(2k+1).

Answer 2

Вариант решения.
Проведем высоту ВН ( которая в равнобедренном треугольнике  является и медианой) к АС.
Т.к. ВН - срединный перпендикуляр к АС , то
центр описанной вокруг ∆ АВС окружности лежит на ВН, и
точка О пересечения ВН и диаметра DС - центр данной окружности. 
Проведем отрезок АD. 
Треугольник DАС - прямоугольный (∠DАС опирается на диаметр)
DА ⊥АС, ВН ⊥ АС ⇒ DА || ВН 
∠ DАВ=∠ АВО как накрестлежащие при параллельных прямых AD  и BH и секущей АВ . 
Углы при М равны как вертикальные ⇒
∆ АМD подобен ∆ МВО по трем углам ⇒
DМ:МО=АМ:МВ=1/k ⇒
MO=DM*k 
МС=ОС+МО 
ОС=DМ+МО=DМk+DМ 
МС=DМk+DМ+DМk=2DМk+DМ=DМ(2k+1) 
DМ:МС=DМ:DМ(2k+1)=1/(2k+1)

Answer 3

Давайте рассмотрим равнобедренный треугольник ABC и диаметр CD вписанной окружности подробнее.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный и AB = BC, мы знаем, что у них равны углы при вершине A и C. Пусть угол BAC (и, следовательно, угол BCA) равен α.

Теперь рассмотрим треугольник BMD. Угол BMD равен 90 градусов, так как D - это точка на диаметре. Также, так как BM = k * MA и угол BMD равен α, то угол MBD равен α. Теперь мы имеем два угла α в треугольнике BMD.

Теперь мы можем использовать теорему синусов в треугольнике BMD:

sin(α) / MD = sin(90°) / BD

Так как sin(90°) = 1, мы можем упростить уравнение:

sin(α) / MD = 1 / BD

Теперь давайте рассмотрим треугольник BMC. Угол BMC также равен α, так как угол BCA равен α (равнобедренный треугольник). Теперь мы можем использовать теорему синусов в треугольнике BMC:

sin(α) / MC = sin(90°) / BC

Снова, так как sin(90°) = 1, мы можем упростить уравнение:

sin(α) / MC = 1 / BC

Теперь мы можем сравнить два уравнения:

sin(α) / MD = sin(α) / MC

sin(α) отменяется, и у нас остается:

1 / MD = 1 / MC

Далее, мы можем инвертировать обе стороны уравнения:

MD = MC

Таким образом, отношение DM : MC равно 1:1.