Question

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 64. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат.

Answer 1

R=64√2
2R=128√2;это диагональ квадрата;
а сторона квадрата
a²+a²=(128√2)²
2a²=128²*2
a²=128²
a=128
r=a/2=64 это радиус окружности
вписанной в квадрат

Answer 2

Радиус описанной окружности квадрата равен половине длины его диагонали. По свойствам квадрата, диагональ равна $d = 2r$, где $r$ - сторона квадрата.

Из условия задачи у нас уже есть радиус описанной окружности $R = 64$. Таким образом, диагональ равна $d = 2R = 128$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, где катеты равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$, справедливо:

$a^2 + b^2 = c^2$

В нашем случае, $a = b = \frac{d}{2} = 64$ (половина длины диагонали), и мы ищем гипотенузу $c$, которая равна стороне квадрата. Подставляем значения:

$\left(\frac{d}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 = c^2$

$2 \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 = c^2$

$d^2 = c^2$

$c = d$

Таким образом, сторона квадрата равна $128$ и это же является диаметром вписанной окружности. Радиус вписанной окружности равен половине диаметра:

$r_{вписанный} = \frac{d}{2} = \frac{128}{2} = 64$

Итак, радиус вписанной окружности равен $64$.