Question

Найдите промежутки монотонности y=2x^3-3x^2-36x+40

Answer 1

Решение дано на фото.

Answer 2

Для определения промежутков монотонности функции $y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 40$ нужно найти производные функции, а затем определить знаки производных на различных интервалах.

1. Найдем первую производную функции $y$ по $x$: $y' = 6x^2 - 6x - 36.$

2. Теперь найдем точки, где $y'$ равна нулю: $6x^2 - 6x - 36 = 0.$ Это уравнение является квадратным, и его можно решить с помощью дискриминанта.

Дискриминант: $D = (-6)^2 - 4 \times 6 \times (-36) = 36 + 864 = 900.$

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{900}}{2 \times 6} = \frac{6 \pm 30}{12}.$

Итак, $x_1 = 5$ и $x_2 = -1.2$.

Теперь посмотрим на знаки производной $y'$ в различных интервалах, используя найденные корни:

• Интервал 1: $(- \infty, -1.2)$

  • Выбираем точку теста $x = -2$, $y'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 36 = 24 + 12 - 36 = 0$. Так как производная меняет знак с положительного на отрицательный, функция убывает на этом интервале.

• Интервал 2: $(-1.2, 5)$

  • Выбираем точку теста $x = 0$, $y'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 36 = -36$. Производная отрицательна, следовательно, функция убывает на этом интервале.

• Интервал 3: $(5, +\infty)$

  • Выбираем точку теста $x = 6$, $y'(6) = 6(6)^2 - 6(6) - 36 = 216 - 36 - 36 = 144$. Производная положительна, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

Итак, функция $y$ убывает на интервалах $(- \infty, -1.2)$ и $(-1.2, 5)$, и возрастает на интервале $(5, +\infty)$.