Question

В1. Найдите область определения функции f(x), если f(x)=ln(5x-x^2-6). В2. Найдите промежутки монотонности функции f(x), если f(x)=39x^2-4x^3-36x-5 В3. Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями y=x^2-5x+1, y=x-4 В4. Найдите неизвестную координату точки А, если дли вектора АВ равна корень из 158: А (1;3;у); В (-6;0;6) Помогите пожалуйста)) Пожалуйста, с решением на листочке!

Answer 1

Всё подробно написала в решении.

Answer 2

Б1. Найдем область определения функции f(x) = ln(5x - x^2 - 6).

Функция ln(x) определена только для положительных аргументов, то есть ln(x) определена только тогда, когда аргумент (5x - x^2 - 6) строго больше нуля:

5x - x^2 - 6 > 0

Для нахождения области определения нужно решить неравенство:

x^2 - 5x + 6 < 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения:

x^2 - 5x + 6 = 0

(x - 2)(x - 3) = 0

x1 = 2 x2 = 3

Найдем знак выражения x^2 - 5x + 6 для интервалов, образованных корнями уравнения и сравним его с нулем:

1. Если x < 2: Подставим x = 1 (например) в выражение x^2 - 5x + 6:

1^2 - 5 * 1 + 6 = 1 - 5 + 6 = 2 (положительное)

2. Если 2 < x < 3: Подставим x = 2.5 (например) в выражение x^2 - 5x + 6:

2.5^2 - 5 * 2.5 + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 (отрицательное)

3. Если x > 3: Подставим x = 4 (например) в выражение x^2 - 5x + 6:

4^2 - 5 * 4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 (положительное)

Мы видим, что выражение x^2 - 5x + 6 меньше нуля на интервале (2, 3). Это значит, что область определения функции f(x) равна (2, 3).

Б2. Найдем промежутки монотонности функции f(x) = 39x^2 - 4x^3 - 36x - 5.

Для определения промежутков монотонности найдем производную функции и решим неравенство f'(x) > 0 для возрастания и f'(x) < 0 для убывания.

Найдем производную функции f(x):

f'(x) = d/dx (39x^2 - 4x^3 - 36x - 5)

f'(x) = 78x - 12x^2 - 36

Теперь решим неравенство:

78x - 12x^2 - 36 > 0

Построим график функции f'(x) = 78x - 12x^2 - 36 и найдем его корни:

78x - 12x^2 - 36 = 0

3x^2 - 13x + 3 = 0

Корни этого квадратного уравнения можно найти с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

D = (-13)^2 - 4 * 3 * 3

D = 169 - 36

D = 133

x1,2 = (13 ± √133) / 6

x1 ≈ 2.79 x2 ≈ 0.21

Теперь проверим знак производной на интервалах:

1. Если x < 0: Подставим x = -1 (например) в выражение 78x - 12x^2 - 36:

78 * (-1) - 12 * (-1)^2 - 36 = -78 - 12 - 36 = -126 (отрицательное)

2. Если 0 < x < 0.21: Подставим x = 0.1 (например) в выражение 78x - 12x^2 - 36:

78 * 0.1 - 12 * 0.1^2 - 36 = 7.8 - 0.12 - 36 = -28.32 (отрицательное)

3. Если 0.21 < x < 2.79: Подставим x = 1 (например) в выражение 78x - 12x^2 - 36:

78 * 1 - 12 * 1^2 - 36 = 78 - 12 - 36 = 30 (положительное)

4. Если x > 2.79: Подставим x = 3 (например) в выражение 78x - 12x^2 - 36:

78 * 3 - 12 * 3^2 - 36 = 234 - 108 - 36 = 90 (положительное)

Таким образом, функция f(x) возрастает на промежутке (0.21, 2.79) и убывает на промежутках (-∞, 0.21) и (2.79, +∞).

Б3. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 5x + 1 и y = x - 4.

Для нахождения площади между кривыми, нужно найти точки пересечения кривых и вычислить определенный интеграл от разности этих кривых по соответствующим интервалам.

1. Найдем точки пересечения кривых:

x^2 - 5x + 1 = x - 4

x^2 - 6x + 5 = 0

(x - 1)(x - 5) = 0

x1 = 1 x2 = 5

2. Вычислим определенный интеграл от разности кривых на интервалах [1, 5]:

Площадь = ∫[1, 5]