Question

Стереометрия Серия 1 1. Разность между образующей конуса и его высотой равна 12 a yroл между ними равен 60 градусов. Найти высоту конуса. 2. Угол при вершине осевого сеченич конуса равен 90 градусов,а площадь этого сечения 36 кв.eд Найти объем конуса (число считать равным 3) 3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 4 и 8, а угол между ними равен 30градусов.Диагональ меньшей грани равна 5 найти объем параллелепипеда 4. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 2 a угол между боковыми ребрами равен 90 градусов.Найти площадь боковой поверхности пирамиды.Найти боковую поверхность конуса, если известно, что она втвоe больше площади основания конуса a площадь осевого сечения конуса равна корень из 3 / на п

Answer 1

1. Разность между образующей L конуса и его высотой H равна 12 a yroл между ними равен 60 градусов. Найти высоту Н конуса.
L - H = 12.
Высота Н как катет против угла в 30 градусов равен:
Н = L/2  или   L = 2H.
Подставим в первое уравнение: 2Н - Н = 12.
Получаем ответ: Н = 12 ед.

 2. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 90 градусов,а площадь этого сечения 36 кв.eд. Найти объем V конуса (число π считать равным 3).
Из условия вытекает R = H.
S = (1/2)*(2R)*H =  R*R = R² = 36. R = √36 = 6.
Отсюда H = 6.
Ответ: V = (1/3)πR²H = (1/3)*3*6²*6 = 216 куб.ед.

3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 4 и 8, а угол между ними равен 30 градусов. Диагональ меньшей грани равна 5. Найти объем параллелепипеда.
Высота основания (лежит против угла в 30°) равна 4/2 = 2. So = 2*8 = 16 кв.ед.
Высота параллелепипеда по Пифагору равна √25-16) = √9 = 3.
V = 16*3 = 48 куб.ед.

 4. В правильной треугольной пирамиде сторона а основания равна 2, a угол β между боковыми ребрами равен 90 градусов.Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Периметр основания Р = 3а = 3*2 = 6 кв.ед.
Угол между боковым ребром и стороной основания равен (180 - 90)/2 = 45°. Поэтому высота А боковой грани (это апофема) равна половине стороны основания, то есть 2/2 = 1.
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*6*1 = 3 кв.ед.

5) Найти боковую поверхность Sбок конуса, если известно, что она вдвое больше площади So основания конуса a площадь Sос осевого сечения конуса равна  (√3/π).
По условию  Sбок = 2 Sо или πRL = 2*(πR²)  или L = 2R (это диаметр).
То есть осевое сечение - равносторонний треугольник, углы по 60°.
Используем условие (площадь равностороннего треугольника):  
Sоc = (2R)²√3/4 = √3/π,
R²√3 = √3/π и после сокращения: R = √(1/π) = 1/(√π).
Теперь находим Sбок = πRL при условии  L = 2R.
 Sбок = π*(1/(√π))*2(1/(√π)) = 2 кв. ед.

Answer 2

Давайте разберемся с каждым вопросом поочередно.

1. Высота конуса при заданной разности между образующей и высотой:

Обозначим высоту конуса как $h$ и образующую как $l$. Из условия задачи у нас есть следующая система уравнений:

$l - h = 12 \quad \text{(1)}$ $\cos(60^\circ) = \frac{h}{l} \quad \text{(2)}$

Из уравнения (2) мы можем выразить $l$ через $h$:

$l = \frac{h}{\cos(60^\circ)} = \frac{h}{0.5} = 2h$

Теперь подставим $l$ из (2) в (1):

$2h - h = 12$

Отсюда получаем $h = 12$.

2. Объем конуса при заданном угле вершины осевого сечения и площади сечения:

Обозначим радиус основания конуса как $r$. Из условия у нас есть следующие данные:

$S_{\text{осев}} = 36 \, \text{кв. ед}$ $r = 6 \, \text{ед}$ (поскольку $S_{\text{осев}} = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \pi$)

Теперь мы можем найти высоту конуса, используя угол вершины осевого сечения:

$h = r \tan(90^\circ) = r \cdot 0 = 0$

Объем конуса $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Подставим значения $r$ и $h$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 6^2 \cdot 0 = 0$

3. Объем параллелепипеда при заданных сторонах основания и угле между ними:

Обозначим длину $a$ и ширину $b$ основания параллелепипеда. У нас есть следующие данные:

$a = 8 \, \text{ед}$ $b = 4 \, \text{ед}$ $d = 5 \, \text{ед}$ (диагональ меньшей грани)

Мы можем выразить высоту $h$ параллелепипеда через $a$ и $b$ с учетом угла между сторонами основания:

$h = \frac{d}{2 \sin(30^\circ)}$

Теперь вычислим объем параллелепипеда:

$V = a \cdot b \cdot h$

Подставим значения $a$, $b$, и $h$ в формулу объема:

$V = 8 \cdot 4 \cdot \frac{5}{2 \sin(30^\circ)}$

4. Площадь боковой поверхности пирамиды при заданных сторонах основания и угле между боковыми ребрами:

Обозначим сторону основания пирамиды как $a$ и угол между боковыми ребрами как $\alpha$. У нас есть следующие данные:

$a = 2 \, \text{ед}$ $\alpha = 90^\circ$

Площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}}$ пирамиды вычисляется по формуле:

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot P_{\text{осн}} \cdot l$

где $P_{\text{осн}}$ - периметр основания, а $l$ - длина бокового ребра.

Периметр основания пирамиды:

$P_{\text{осн}} = 4a$

Длина бокового ребра $l$ можно найти используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $h$, где $h$ - высота боковой грани:

$l = \sqrt{a^2 + h^2}$

У нас $h = a \tan(\alpha)$. Подставим это значение в уравнение для $l$:

$l = \sqrt{a^2 + (a \tan(\alpha))^2}$

Теперь вычислим $S_{\text{бок}}$