Question

Составить уравнение плоскости по точке м(-5;4;-2) и векторам р(3;-7;2) к(-6;4;1) 40 баллов

Answer 1

Правильное условие:
Составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку  М(-5;4;-2), параллельно двум неколлинеарным векторам р(3;-7;2) и q(-6;4;1)

Answer 2

Для составления уравнения плоскости по заданным точке M(-5; 4; -2) и двум векторам P(3; -7; 2) и K(-6; 4; 1), мы можем воспользоваться уравнением плоскости в параметрической форме. Уравнение плоскости в параметрической форме имеет следующий вид:

P = M + t * P + s * K

где P - произвольная точка на плоскости, M - заданная точка, P и K - векторы, лежащие в плоскости, t и s - параметры.

Подставим известные значения:

P = (x, y, z) M = (-5, 4, -2) P = (3, -7, 2) K = (-6, 4, 1)

Теперь у нас есть уравнение:

(x, y, z) = (-5, 4, -2) + t * (3, -7, 2) + s * (-6, 4, 1)

Распишем это уравнение для каждой координаты:

x = -5 + 3t - 6s y = 4 - 7t + 4s z = -2 + 2t + s

Это и есть уравнение плоскости в параметрической форме. Однако для получения уравнения плоскости в общем виде (в виде уравнения Ax + By + Cz + D = 0), нам нужно избавиться от параметров t и s. Для этого мы можем рассмотреть их как произвольные константы:

x = -5 + 3t - 6s y = 4 - 7t + 4s z = -2 + 2t + s

Из первого уравнения выразим t:

t = (x + 5 + 6s) / 3

Из второго уравнения выразим s:

s = (7t - y + 4) / 4

Теперь подставим эти выражения в третье уравнение:

z = -2 + 2t + s z = -2 + 2[(x + 5 + 6s) / 3] + [(7t - y + 4) / 4]

Умножим оба уравнения на 12, чтобы избавиться от знаменателей:

12z = -24 + 8(x + 5 + 6s) + 3(7t - y + 4)

Теперь подставим выражения для t и s:

12z = -24 + 8(x + 5 + 6s) + 3[7((x + 5 + 6s) / 3) - y + 4]

Упростим:

12z = -24 + 8(x + 5 + 6s) + 7(x + 5 + 6s) - 3y + 12

Раскроем скобки:

12z = -24 + 8x + 40 + 48s + 7x + 35 + 42s - 3y + 12

Теперь объединим похожие члены:

12z = 15x + 3y + 90s + 63

Теперь переносим все на одну сторону уравнения и приводим к общему виду:

15x + 3y + 90s - 12z + 63 = 0

И это уравнение представляет плоскость, проходящую через точку M(-5; 4; -2) и заданную векторами P(3; -7; 2) и K(-6; 4; 1).