Question

для функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через точку М:f(x)=x^3+2, если M(2;15)

Answer 1

F(x)=x⁴/4+2x+C
M(2;15)  15=2⁴/4+2·2+C
                15=8+C  C=7
F(x)=x⁴/4+2x+7

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции f(x) = x^3 + 2, проходящую через точку M(2;15), мы должны найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x), и при этом она удовлетворяет условию F(2) = 15.

Интегрируем f(x) = x^3 + 2 по переменной x:

F(x) = ∫(x^3 + 2) dx

Для интегрирования x^3, мы используем степенное правило интеграла:

∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где C - произвольная постоянная.

Таким образом, интегрируя x^3, получаем:

∫x^3 dx = (x^(3+1))/(3+1) + C ∫x^3 dx = (x^4)/4 + C

Интегрируя константу 2, получаем:

∫2 dx = 2x + C

Теперь собираем все вместе:

F(x) = (x^4)/4 + 2x + C

Теперь у нас есть общая первообразная функции f(x), которая включает произвольную постоянную C. Чтобы найти значение C, используем условие, что F(2) = 15:

F(2) = (2^4)/4 + 2*2 + C F(2) = 16/4 + 4 + C F(2) = 4 + 4 + C F(2) = 8 + C

Так как F(2) должно быть равно 15, то:

8 + C = 15

Теперь найдем значение C:

C = 15 - 8 C = 7

Итак, первообразная функции f(x) = x^3 + 2, проходящая через точку M(2;15), равна:

F(x) = (x^4)/4 + 2x + 7