Question

1)докажите что у равнобедренной трапеции углы при основании равны 2)Отрезок соединяющий серидины диагоналей=полуразности оснований трапецииС РИСУНКАМИ

Answer 1

1. Пусть дана РАВНОБОКАЯ трапеция АВСD. Проведем ДВЕ высоты ВM и СN из вершин тупых углов. Образовавшиеся прямоугольные треугольники АВM и DCN равны по катету и гипотенузе. У равных треугольников против равных сторон лежат равные углы. Следовательно, <A = <D, что и требовалось доказать.

2. Соединим середины диагоналей  АС и ВD отрезком FG и продлим его в обе стороны до пересечения с боковыми сторонами трапеции АВ и CD в точках Е и H соответственно. В равнобокой трапеции диагонали равны, следовательно, AF=DG  и FO=GO (точка О - точка пересечения диагоналей). Тогда в треугольнике АОD отрезок FG параллелен основанию AD.  => Прямая ЕН - средняя линия трапеции, а EF и GH - средние линии треугольников АВС и DBC.  =>  EF=GH=BC/2. => EH=BC+FG.

Средняя линия ЕН трапеции равна полусумме ее оснований, то есть ЕН=(BC+AD)/2 => BC+AD=2EH => BC+AD =2(BC+FG).   => FG=(AD-BC)/2, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства первого утверждения, что у равнобедренной трапеции углы при основании равны, мы можем использовать свойство равнобедренных трапеций. Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где AB и CD - основания, а AD и BC - боковые стороны, при этом AD = BC.

Для начала обратим внимание на то, что основания AB и CD равны по определению равнобедренной трапеции. Далее, мы знаем, что углы при основаниях равнобедренной трапеции равны. Обозначим эти углы как ∠BAD и ∠CDA.

Теперь давайте рассмотрим отрезок соединяющий середины диагоналей. Пусть M - середина AD, и N - середина BC. Тогда отрезок MN будет соединять середины диагоналей AC и BD.

Согласно свойствам параллелограмма, отрезок MN будет равен половине суммы диагоналей AC и BD:

MN = 1/2(AC + BD).

Также, так как AD = BC (свойство равнобедренной трапеции), то диагонали AC и BD также равны:

AC = BD.

Теперь мы можем подставить это значение в формулу для MN:

MN = 1/2(AC + BD) = 1/2(AC + AC) = 1/2(2AC) = AC.

Таким образом, отрезок MN равен диагонали AC.

Итак, мы доказали, что отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции. То есть:

MN = 1/2(AB - CD).

Теперь у нас есть два выражения для отрезка MN:

MN = AC и MN = 1/2(AB - CD).

Из этих двух равенств следует:

AC = 1/2(AB - CD).

Теперь, если мы вернемся к свойству равнобедренной трапеции, что углы при основаниях равны (∠BAD = ∠CDA), мы можем заключить, что угол ∠BAC равен углу ∠CDA.

Из равенства углов следует, что треугольники AMC и BNC подобны, так как они имеют по два равных угла и общий угол между равными сторонами. Следовательно, соотношение сторон треугольников также одинаково:

AC / MN = AM / BN.

Теперь мы знаем, что AC = MN и можем подставить это в уравнение:

MN / MN = AM / BN.

Упростим:

1 = AM / BN.

Таким образом, мы показали, что отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции и доказали, что углы при основаниях равнобедренной трапеции равны.