Question

Докажите что любого острого угла альфа выполняется неравенство sin альфа + cos Альфа>1

Answer 1

Косинус равен единице, если это нулевой угол.  

Но нулевой угол чисто геометрически не является углом, он выглядит как луч.  

Поэтому, если угол острый, то есть не нулевой, то его косинус будет обязательно меньше единицы.

Answer 2

Для доказательства неравенства $\sin(\alpha) + \cos(\alpha) > 1$ при условии, что $\alpha$ - острый угол, мы можем использовать некоторые свойства тригонометрических функций.

Для начала, заметим, что в случае острого угла $\alpha$, $\sin(\alpha) > 0$ и $\cos(\alpha) > 0$. Также известно, что $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ (тождество Пифагора).

Теперь давайте рассмотрим неравенство: $\sin(\alpha) + \cos(\alpha) > 1$

Возводим обе стороны неравенства в квадрат: $(\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 > 1$

Раскрываем квадрат слева: $\sin^2(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) + \cos^2(\alpha) > 1$

Теперь используем тождество Пифагора $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$: $2\sin(\alpha)\cos(\alpha) > 0$

Это неравенство выполняется для любого острого угла $\alpha$, так как произведение синуса и косинуса острого угла всегда положительно. Таким образом, исходное неравенство $\sin(\alpha) + \cos(\alpha) > 1$ верно для острых углов $\alpha$.