Question

Доказать что радиус вписанной в ромб круга в 2 раза меньше за его высоту Довести що радіус вписаного в ромб кола у 2 рази менший за його висоту

Answer 1

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу.

Если между двумя параллельными прямыми вписана окружность, то расстояние между прямыми равно двум расстояниям от центра до касательной, то есть двум радиусам или диаметру.

Противоположные стороны ромба параллельны. Расстояние между противоположными сторонами ромба является его высотой и равно двум радиусам вписанной окружности.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения давайте рассмотрим ромб и вписанный в него круг. Предположим, что высота ромба равна $h$, а радиус вписанного круга равен $r$.

1. Построим ромб и вписанный круг:

[Рисунок ромба с вписанным кругом]

2. Рассмотрим треугольник, образованный половиной высоты ромба, радиусом круга и одной стороной ромба:

[Рисунок треугольника]

3. Мы знаем, что высота ромба делит его на два равных треугольника. Таким образом, длина одной стороны треугольника равна $h/2$.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом круга, половиной стороны ромба и гипотенузой (радиусом круга):

[Рисунок прямоугольного треугольника]

5. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике соотношение между катетами и гипотенузой определяется теоремой Пифагора:

$(h/2)^2 + r^2 = (2r)^2$

6. Упростим уравнение:

$(h/2)^2 + r^2 = 4r^2$

7. Раскроем скобки и упростим:

$\frac{h^2}{4} + r^2 = 4r^2$

8. Выразим $r^2$ в левой части уравнения:

$r^2 = 4r^2 - \frac{h^2}{4}$

9. Переносим $4r^2$ из правой части в левую:

$r^2 - 4r^2 = -\frac{h^2}{4}$

10. Сокращаем $r^2$ на левой стороне:

$-3r^2 = -\frac{h^2}{4}$

11. Разделим обе стороны на -3:

$r^2 = \frac{h^2}{12}$

12. Теперь возьмем квадратный корень с обеих сторон:

$r = \sqrt{\frac{h^2}{12}}$

13. Упростим под корнем:

$r = \frac{h}{\sqrt{12}}$

14. Разложим знаменатель под корнем:

$r = \frac{h}{2\sqrt{3}}$

Таким образом, радиус вписанного в ромб круга равен $\frac{h}{2\sqrt{3}}$, что можно записать как $\frac{h}{\sqrt{3}}$. Теперь мы видим, что радиус круга в 2 раза меньше высоты ромба, так как $\frac{h}{\sqrt{3}}$ в точности вдвое меньше $h$.

Таким образом, утверждение доказано.