Question

СРОЧНО НУЖНО СЕЙЧАС!!! ПОЖАЛУЙСТА!!! ДАЮ 30 БАЛЛОВ!!! На катетах прямоугольного треугольника отметили точки. Докажите, что соединяющих их отрезок не превосходит гипотенузы.​

Answer 1

M и N - точки на катетах AC и BC

По теореме Пифагора

AC^2 + BC^2 = AB^2

MC^2 + NC^2 = MN^2

MC≤AC, NC≤BC =>

MC^2≤AC^2, NC^2≤BC^2 =>

MN^2≤AB^2 =>

MN≤AB

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AB и BC - катеты, а AC - гипотенуза. Пусть точки D и E отмечены на катетах AB и BC соответственно, и соединяются отрезками DE. Нам нужно доказать, что длина отрезка DE не превосходит длины гипотенузы AC.

Для начала, обратим внимание на то, что треугольник ADE и треугольник CDE являются прямоугольными треугольниками, так как у них есть прямые углы в точках D и E. Это следует из того, что DE является высотой для треугольников ABC и CBA, и она перпендикулярна к гипотенузе AC и к катету AB (или BC).

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для каждого из этих треугольников:

1. Для треугольника ADE: AD^2 + DE^2 = AE^2
2. Для треугольника CDE: CE^2 + DE^2 = CD^2

Обратите внимание, что AD = BC (катеты равны), и CE = AB (катеты равны). Таким образом, у нас есть:

1. BC^2 + DE^2 = AE^2
2. AB^2 + DE^2 = CD^2

Теперь сложим оба уравнения:

BC^2 + AB^2 + 2DE^2 = AE^2 + CD^2

Мы знаем, что AE^2 + CD^2 = AC^2 (по теореме Пифагора для треугольника ABC), поэтому:

BC^2 + AB^2 + 2DE^2 = AC^2

Теперь мы видим, что 2DE^2 = AC^2 - (BC^2 + AB^2). Поскольку AC^2 - (BC^2 + AB^2) ≥ 0 (гипотенуза не меньше суммы квадратов катетов), то 2DE^2 ≥ 0. Это означает, что DE^2 ≥ 0, и, следовательно, DE не превосходит гипотенузу AC.

Таким образом, мы доказали, что длина отрезка DE не превосходит длины гипотенузы AC.