Question

Геометрия 100 баллов. Тема: Векторы №1. Постройте вектор х, удовлетворяющий равенству а) x+a-b=2a-3b б) 2x-a+5b+x-c+b+3a №2. Векторы a+2b и 5a-4b перпендикулярны. Какой угол образуют единичные векторы a и b? №3 Дан ромб ABCD, причём AB=5 и угол BAD= 60 градусов. В плоскости ромба выбран базис (a;b) такой, что вектор AB = a и вектор AD = b. Найдите в этом базисе координаты векторов AB, BC, CD, DA, AC, BD.

Answer 1

1)a)x=a-2b;б)x=4a-4b-c-что за вектора а,b,c-непонятно. поэтому не строю  

2) если векторы перпендикулярны. то их скалярное произведение 0  

(a+2b)(5a-4b)=5a^2+6ab-8b^2=0-если длина векторов 1, то

5+6ab-8=0; 6ab=3; ab=1/2=1*1*cosx=1/2; cosx=1/2; x=pi/3

угол равен 60 градусам

Answer 2

Давайте по порядку рассмотрим каждый из ваших вопросов.

№1. Постройте вектор x, удовлетворяющий равенству:

а) x + a - b = 2a - 3b

Для начала, давайте выразим x:

x = 2a - 3b - a + b x = a - 2b

б) 2x - a + 5b + x - c + b + 3a

Сгруппируем подобные слагаемые:

2x + x - a + 5b + b + 3a - c

Складываем коэффициенты при каждом из векторов:

3x + 4a + 6b - c

Теперь мы имеем уравнение:

3x + 4a + 6b - c = 0

Выразим x:

3x = c - 4a - 6b

x = (c - 4a - 6b) / 3

Теперь у нас есть выражения для вектора x в обоих случаях.

№2. Векторы a + 2b и 5a - 4b перпендикулярны. Какой угол образуют единичные векторы a и b?

Для того чтобы векторы были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

(a + 2b) * (5a - 4b) = 0

Раскроем скобки и упростим:

5aa - 4ab + 10ba - 8bb = 0

5|a|^2 - 4(ab) + 10(ba) - 8|b|^2 = 0

5|a|^2 - 4(ab) + 10(ba) - 8|b|^2 = 0

Теперь используем тот факт, что длины единичных векторов равны 1:

|a| = |b| = 1

Тогда у нас остается:

5 - 4(ab) + 10(ba) - 8 = 0

1 - 4(ab) + 10(ba) - 8 = 0

-3 - 4(ab) + 10(ba) = 0

6(ba) - 4(ab) = 3

2(ba) - (ab) = 1

(a*b) = 2

Теперь мы знаем, что скалярное произведение векторов a и b равно 2. Чтобы найти угол между ними, используем формулу:

cos(θ) = (a * b) / (|a| * |b|)

cos(θ) = 2 / (1 * 1) = 2

Теперь найдем угол θ:

θ = arccos(2)

Здесь возникает проблема, так как значение cos(2) больше 1, и арккосинус этого значения не имеет решения в рамках обычных угловых мер. Следовательно, угол между векторами a и b в данном случае не существует в рамках обычных угловых мер.

№3. Найдите в этом базисе координаты векторов AB, BC, CD, DA, AC, BD.

Для нахождения координат векторов в данном базисе, нам нужно знать, как выглядит базис (a;b) в данной задаче. Из условия известно, что вектор AB = a и вектор AD = b.

Теперь мы можем найти координаты остальных векторов:

1. AB = a (задан в условии)
2. BC = AB + AD = a + b
3. CD = -AB = -a
4. DA = -AD = -b
5. AC = AB + BC = a + (a + b) = 2a + b
6. BD = DA + AB = -b + a = a - b

Таким образом, координаты векторов в данном базисе будут следующими:

1. Координаты AB: (1, 0)
2. Координаты BC: (1, 1)
3. Координаты CD: (-1, 0)
4. Координаты DA: (0, -1)
5. Координаты AC: (2, 1)
6. Координаты BD: (1, -1)