Question

в параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке о. Докажите что четырехугольник EFGH вершинами которого является середины отрезков AO,OB,OC и OD - параллелограмм. ПРОШУ ЛЮДИ, ХЕЛП!!!!

Answer 1

Ответ:

здесь нужно вспомнить про подобие треугольников:

★ Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Рассмотрим треугольники АВО и EFO.

Сторона EO это половина стороны АО соответственно эти стороны пропорциональны.

Сторона FO это половина стороны ВО значит эти стороны тоже пропорциональны.

Угол АОВ и угол EOF это один и тот же угол.

Из выше написанного делаем вывод что треугольники ABO и EFO подобны.

По тому же самому принципу доказываем подобие треугольников DOC и HOG.

Так как треугольники АВО и DOC равны то соответственно и треугольники EFO и HOG тоже равны, а значит стороны EF и HG равны.

Точно таким же методом доказываем равенство сторон EH и FG.

Теперь вспомним про подобие многоугольников:

★Два многоугольника называются подобными, если углы одного равны попарно углам другого и если сходственные стороны их пропорциональны.

Так как мы доказали что треугольники многоугольника EFGH подобны треугольниками параллелограмма ABCD мы модем доказать равенство углов.

Таким образом сумма углов HEO и OEF равна сумме углов DAO и OAB. А это значит что углы DAB и HEF равны.

Таким же образом доказываем равенство всех остальных углов.

Имея все данные мы можем доказать что многоугольник EFGH подобен многоугольнику ABCD:

стороны EF и AB а также HG и DC исходя из подобия треугольников пропорциональны;

стороны EH и ADа также FG и BC исходя из подобия треугольников пропорциональны;

так же мы доказали что углы многоугольников тоже попарно равны.

делаем вывод: многоугольник EFGH подобен многоугольнику ABCD!

а так как ABCD - это параллелограмм, то значит и EFGH тоже параллелограмм!

Answer 2

Чтобы доказать, что четырехугольник EFGH является параллелограммом, нам нужно показать, что противоположные стороны этого четырехугольника параллельны.

Для начала рассмотрим параллелограмм ABCD и его диагонали. Поскольку диагонали пересекаются в точке O, мы знаем, что:

1. Отрезки AO и CO являются медианами треугольника ADC, и по свойствам медиан треугольника они делятся в отношении 2:1. То есть, AO = 2 * OC.

2. Отрезки BO и DO являются медианами треугольника BCD, и также делятся в отношении 2:1. То есть, BO = 2 * DO.

Теперь мы можем рассмотреть четырехугольник EFGH, вершинами которого являются середины отрезков AO, OB, OC и OD. Давайте обозначим середины этих отрезков как M, N, P и Q соответственно. Теперь у нас есть следующие равенства:

AM = 0.5 * AO BM = 0.5 * BO CM = 0.5 * OC DM = 0.5 * OD

Из предыдущих равенств (AO = 2 * OC и BO = 2 * DO) мы можем подставить значения:

AM = 0.5 * (2 * OC) = OC BM = 0.5 * (2 * DO) = DO CM = 0.5 * OC DM = 0.5 * OD

Теперь мы видим, что AM = OC, BM = DO, CM = 0.5 * OC и DM = 0.5 * OD.

Таким образом, стороны AM и BM параллельны сторонам OC и DO соответственно, потому что они равны по длине. Также стороны CM и DM параллельны сторонам OC и DO соответственно, так как они равны половине длины сторон OC и OD.

Поскольку противоположные стороны четырехугольника EFGH параллельны, это доказывает, что EFGH - параллелограмм.