Question

Прямоугольная трапеция с основанием 5 см и боковыми сторонами 24 см и 25 см вращается вокруг меньшего основания. Найдите объем тела вращения.

Answer 1

Всё расписал на картинке

Три основные формулы в этой задаче

1)Объем тела вращения

2)Объем цилиндра

3)Объем конуса

$V= \pi R^{2} H - \frac{1}{3} \pi r^{2} h\\\\V= \pi R^{2} H\\\\V= \frac{1}{3} \pi r^{2} h$

Ответ: 5568π

Answer 2

О, мы в математике! Давай решим эту задачу. Объем тела вращения трапеции вокруг меньшего основания можно найти с помощью интеграла.

Формула объема вращаемой фигуры выглядит так:

$V = \pi \int_{a}^{b} f(x)^2 \,dx$

где $f(x)$ - функция, задающая профиль фигуры, $a$ и $b$ - пределы интегрирования.

В данном случае, наша функция - это линейная функция, представляющая боковую сторону трапеции. Мы можем представить ее в виде $f(x) = mx + c$, где $m$ - наклон, а $c$ - точка пересечения с осью $x$.

Так как у нас есть две боковые стороны, можем взять усредненное значение:

$f(x) = \frac{24+25}{2}x + c$

Теперь можем подставить это в формулу для объема. Пределы интегрирования будут от 0 до 5 (минимальное и максимальное значение $x$ - ширина меньшего основания).

$V = \pi \int_{0}^{5} \left(\frac{24+25}{2}x + c\right)^2 \,dx$

Здесь нужно будет провести вычисления, но это осуществимо. Готов погружаться в детали или хочешь подробности сократить?