Question

Даны координаты вершины четырёхугольника АВСD: A(-3; -1) B(1; 2) C(5; -1) D(1; -4) Докажите, что этот четырёхугольник является квадратом. СРОЧНО!!!​

Answer 1

Ответ:

А разве этот четырехугольник является квадратом?

Объяснение:

По данным координатам вершин четырехугольника определим длины их его сторон.

АВ² = (Х2 – Х1)² + (У2 – У1)² = (1 – (-3))² + (2 – (-1))² = 16 + 9 = 25.

АВ = 5 см.

ВС² = (5 – 1)² + (-1 – 2)² = 16 + 9 = 25.

ВС = 5 см.

СД² = (1 – 5)² + (-4 – (-1))² = 16 + 9 = 25.

СД = 5 см.

АД² = (1 – (-3))² + (-4 – (-1))² = 16 + 9 = 25.

АД = 5 см.

Все четыре стороны равны 5 см, четырехугольник квадрат или ромб.

Определим длины диагоналей.

АС² = (5 – (-3))² + (-1 – (-1))² = 64 + 0 = 64.

АС = 8 см.

ВД² = (1 – 1)² + (-4 – 2)² = 0 + 36 = 36.

ВД = 6 см.

Диагонали разной длины, получается, четырехугольник ромб, а не квадрат. Извини.

Answer 2

Для доказательства того, что данный четырёхугольник ABCD является квадратом, нам нужно проверить несколько условий:

1. Все стороны квадрата равны.
2. Углы между сторонами квадрата равны 90 градусов.

Давайте проверим каждое из этих условий:

1. Вычислим длины сторон AB, BC, CD и DA с использованием заданных координат:

   AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) = √((1 - (-3))² + (2 - (-1))²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5. BC = √((x3 - x2)² + (y3 - y2)²) = √((5 - 1)² + (-1 - 2)²) = √(4² + (-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5. CD = √((x4 - x3)² + (y4 - y3)²) = √((1 - 5)² + (-4 - (-1))²) = √((-4)² + (-3)²) = √(16 + 9) = √25 = 5. DA = √((x1 - x4)² + (y1 - y4)²) = √((-3 - 1)² + (-1 - (-4))²) = √((-4)² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

Все стороны AB, BC, CD и DA равны 5, что удовлетворяет первому условию.

2. Теперь давайте проверим углы между сторонами. Для этого вычислим углы между векторами AB и BC, BC и CD, CD и DA, и DA и AB.

Угол между двумя векторами можно вычислить с помощью следующей формулы:

cos(θ) = (AB · BC) / (|AB| * |BC|),

где θ - угол между векторами, AB · BC - скалярное произведение векторов AB и BC, |AB| - длина вектора AB, и |BC| - длина вектора BC.

Для AB и BC:

AB · BC = (1 - (-3)) * (2 - (-1)) + (2 - (-1)) * (-1 - (-1)) = 4 * 3 + 3 * 0 = 12, |AB| = 5 (как мы уже вычислили), |BC| = 5 (как мы уже вычислили).

cos(θ) = 12 / (5 * 5) = 12 / 25.

Угол θ между AB и BC можно вычислить как арккосинус (cos⁻¹) от 12/25:

θ = cos⁻¹(12/25).

Теперь вычислим угол между BC и CD:

BC · CD = (5 - 1) * (-1 - 2) + (-1 - 2) * (-4 - (-1)) = 4 * (-3) + (-3) * (-3) = -12 + 9 = -3, |BC| = 5 (как мы уже вычислили), |CD| = 5 (как мы уже вычислили).

cos(θ) = (-3) / (5 * 5) = -3 / 25.

Угол θ между BC и CD можно вычислить как арккосинус (cos⁻¹) от -3/25:

θ = cos⁻¹(-3/25).

Теперь вычислим угол между CD и DA:

CD · DA = (1 - 5) * (-4 - (-1)) + (-4 - (-1)) * (-1 - (-4)) = (-4) * (-3) + (-3) * 3 = 12 - 9 = 3, |CD| = 5 (как мы уже вычислили), |DA| = 5 (как мы уже вычислили).

cos(θ) = 3 / (5 * 5) = 3 / 25.

Угол θ между CD и DA можно вычислить как арккосинус (cos⁻¹) от 3/25:

θ = cos⁻¹(3/25).

Теперь вычислим угол между DA и AB:

DA · AB = (-3 - 1) * (-1 - 2) + (-1 - 2) * (2 - (-1)) = (-4) * (-3) + (-3) * 3 = 12 - 9 = 3, |DA| = 5 (как мы уже вычислили), |AB| = 5 (как мы уже вычислили).

cos(θ) = 3 / (5 * 5) = 3 / 25.

Угол θ между DA и AB можно вычислить как арккосинус (cos⁻¹) от 3/25:

θ = cos⁻¹(3/25).

Теперь давайте проверим, равны ли все эти углы между сторонами 90 градусам. Если все углы равны 90 градусам, то это будет означать, что четырёхугольник ABCD является квадратом.

cos⁻¹(12/25) = 63.43 градуса (примерно), cos⁻¹(-3/25) = 97.13 градуса (примерно), cos⁻¹(3/25) = 82.87 градуса (примерно), cos⁻¹(3/25) = 82.87 градуса (пример