Question

Задана правильная шестиугольная пирамида, высота которой равна 15 см, а сторона основания – 20 см. а) Определите длину бокового ребра пирамиды; б) Определите длину апофемы; в) Определите площадь боковой поверхности пирамиды. с чертежом

Answer 1

Ответ:

$1)\;\;\;AS=25cm\\2)\;\;\;SH=5\sqrt{21}cm\\3)\;\;\;S_{bok}=300\sqrt{21} cm^2$

Объяснение:

Дано: Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF.

SO=15 см - высота

ВА=20 см - сторона основания

Найти:

Боковое ребро AS; апофему SH, площадь боковой поверхности.

Решение:

Правильная шестиугольная пирамида имеет в основании правильный шестиугольник. Боковые грани - равнобедренные треугольники.

1. Рассмотрим ΔВОА - равносторонний (свойство правильного шестиугольника)

⇒ОА=20 см.

2. Рассмотрим ΔASO - прямоугольный (SO - высота)

По т. Пифагора:

$AS=\sqrt{SO^2+AO^2}=\sqrt{225+400}=25\;(cm)$

3. Рассмотрим ΔASB - равнобедренный.

⇒SH - высота, медиана.

⇒ВН=AH=10 см

4. Рассмотрим ΔHSA - прямоугольный.

По т. Пифагора:

$SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=\sqrt{625-100}=\sqrt{525}=5\sqrt{21}\;(cm)$

5. Площадь боковой поверхности равна площади 6 граней.

Найдем сначала площадь одной грани, а затем шести:

$S=\frac{1}{2}*BA*SH=\frac{1}{2}*20*5\sqrt{21}=50\sqrt{21}\;(cm^2)\\S_{bok}=50\sqrt{21}*6=300\sqrt{21}\;(cm^2)$

Answer 2

Давайте рассмотрим ваш вопрос поочередно.

а) Для определения длины бокового ребра пирамиды можно воспользоваться теоремой Пифагора. Мы можем рассмотреть боковой треугольник пирамиды, в котором одна сторона равна половине длины основания (10 см), другая сторона - высоте пирамиды (15 см), а гипотенуза этого треугольника - искомое боковое ребро.

Используя теорему Пифагора, можно записать:

$боковое\_ребро^2 = 10^2 + 15^2$ $боковое\_ребро^2 = 100 + 225$ $боковое\_ребро^2 = 325$

Теперь найдем квадратный корень из 325:

$боковое\_ребро = \sqrt{325} ≈ 18.03\ см$

Ответ: длина бокового ребра пирамиды составляет около 18.03 см.

б) Апофема (иногда называется радиусом пирамиды) - это отрезок, проведенный из вершины пирамиды до центра основания. Она будет равна половине длины диагонали основания правильной шестиугольной пирамиды. Чтобы найти длину апофемы, нам сначала нужно найти длину диагонали основания.

Диагональ правильного шестиугольника можно найти с помощью формулы:

$диагональ\_основания = сторона\_основания \times \sqrt{3}$

$диагональ\_основания = 20\ см \times \sqrt{3} ≈ 34.64\ см$

Теперь мы можем найти длину апофемы, которая равна половине длины диагонали:

$апофема = \frac{диагональ\_основания}{2} ≈ \frac{34.64\ см}{2} ≈ 17.32\ см$

Ответ: длина апофемы составляет около 17.32 см.

в) Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды можно найти, зная длину бокового ребра и периметр основания. Периметр основания можно найти, умножив длину стороны основания на количество сторон (в данном случае, шести).

Периметр основания: $периметр\_основания = сторона\_основания \times количество\_сторон = 20\ см \times 6 = 120\ см$

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности, используя формулу:

$площадь\_боковой\_поверхности = \frac{периметр\_основания \times боковое\_ребро}{2} = \frac{120\ см \times 18.03\ см}{2} ≈ 1081.8\ см^2$

Ответ: площадь боковой поверхности пирамиды составляет около 1081.8 квадратных сантиметра.