Question

Скласти рівняння гіперболи і перевірити за допомогою теорії інваріантів, якщо відстань між директрисами гіперболи дорівнює 18/5, а фокусами є точки F1(3,4) і F2(–3, –4)

Answer 1

Так как фокусы гиперболы симметричны относительно начала координат, то центр гиперболы – это начало координат.

Большая полуось c = √(3² + 4²) = 5.

Используем свойства директрисы и фокуса.

a*e = 5, a = 5/e.

a/e =9/5, 5/e² = 9/5, 9e² = 25, e = 5/3.

Отсюда а = 5/(5/3) = 3, b = √(c² - a²) = √(5² - 3²) = √(25 – 9) = √16 = +-4.

Получаем каноническое уравнение гиперболы, повёрнутой вокруг начала координат до совпадения её осей с осями координат

(x²/3²) – (y²/4²) = 1.

Угол поворота определим из координат фокусов.

tgα=4/3.

Отсюда угол равен  arctg(4/3) =  53,13010235 градуса.

Теперь восстановим уравнение гиперболы в первоначальном положении.

sin⁡α=4/5.cos⁡α=3/5.

(x²/3²) – (y²/4²) = 1.

((3x/5) + (4y/5))²/9 - ((3y/5) - (4x/5))²/16 = 1.

((9x²/25) + (24xy/25) + (16y²/25)/9) - ((9y²/25) + (24xy/25) -16x²/25)/16) = 1.

(x²/25) + (8xy/75) + (16y²/225) - (9y²/400) + (3xy/50) -+ (x²/25) = 1.

144x² + 384xy + 256y² - 81y² + 216xy - 144x² - 3600 = 0.

600xy + 175y² - 3600 = 0. Сократив на 25, получаем уравнение:

24xy + 7y² - 144 = 0.

Или как уравнение линии 2-го порядка, заданное общим видом:

0x² + 2*12xy + 7y² + 2*0x + 2*0y - 144 = 0.

Имеем коэффициенты: A = 0, B = 12, C = 7, D = 0, E = 0, F = -144.

Answer 2

Гіпербола - це геометрична фігура, для якої сума відстаней від будь-якої точки на кривій до двох фокусів однакова. Ваше рівняння гіперболи можна записати у вигляді:

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

де $a$ і $b$ - півосі гіперболи.

Також, ви можете скористатися властивістю гіперболи щодо відстані між директрисами та відстані між фокусами:

$2a = \frac{18}{5}$

Також, відомо, що відстань між фокусами $F_1$ та $F_2$ дорівнює $2c$, де $c$ - відстань від центра гіперболи до фокуса. Отже,

$2c = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (4 - (-4))^2}$

Знайдемо $c$:

$2c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

Отже, $c = \frac{10}{2} = 5$.

Тепер, використовуючи властивість гіперболи $c^2 = a^2 + b^2$, можна знайти $b$:

$5^2 = a^2 + b^2$

$25 = \left(\frac{18}{5}\right)^2 + b^2$

$25 = \frac{324}{25} + b^2$

$b^2 = 25 - \frac{324}{25}$

$b^2 = \frac{625}{25} - \frac{324}{25}$

$b^2 = \frac{301}{25}$

Отже, $b = \sqrt{\frac{301}{25}}$.

Таким чином, рівняння гіперболи має вигляд:

$\frac{x^2}{\left(\frac{18}{5}\right)^2} - \frac{y^2}{\frac{301}{25}} = 1$

Або, після спрощення:

$\frac{25x^2}{324} - \frac{25y^2}{301} = 1$

Це є рівнянням гіперболи з вказаними умовами.