Question

Знайдіть об’єм тетраедра, який відтинає від координатного кута площина 2х + 3у – 9z + 18 = 0.

Answer 1

Відповідь:    V = 18 куб. од.

Пояснення:

Запишемо рівняння даної площини  2х + 3у – 9z + 18 = 0  у відрізках .

Для цього поділимо рівняння на  - 18 :

x/(- 9 ) + y/(- 6 ) + z/2 = 1  . Запишемо коорд. вершин тетраедра DOAB :

 A(- 9 ; 0 ; 0 ) , B( 0 ;- 6 ; 0 ) , O( 0 ; 0 ; 0 ) , D( 0 ; 0 ; 2 ) .  Об'єм його

обчислимо за формулою :   V = 1/3 S oc * H .

 | OA | = 9 ;  | OB | = 6 ;  | OD | = H = 2 .  ΔOAB - прямокутний , тому

 S oc = 1/2 * | OA | * | OB | = 1/2 *9 *6 = 27 ;     S oc = 27 .

  V = 1/3 * 27 * 2 = 18 ( куб. од. ) ;    V = 18 куб. од.  

     

Answer 2

Обчислення об'єму тетраедра за допомогою рівнянь площини є нетривіальною задачею. Однак можна використати метод визначників для вирішення цієї задачі.

Рівняння площини дане у вигляді:

$2x + 3y - 9z + 18 = 0.$

Тепер, давайте позначимо вершини тетраедра через $A$, $B$, $C$ і $D$, а їхні координати через $(x_1, y_1, z_1)$, $(x_2, y_2, z_2)$, $(x_3, y_3, z_3)$ і $(x_4, y_4, z_4)$ відповідно.

Об'єм тетраедра можна знайти за формулою:

$V = \frac{1}{6} \cdot |det(M)|,$

де $M$ - матриця, що складається з координат вершин тетраедра:

x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \\ \end{bmatrix}.\] Визначник \(det(M)\) можна обчислити, використовуючи будь-який метод обчислення визначника для 4x4 матриці. Потім підставте значення в формулу і обчисліть об'єм тетраедра. Будьте обережні при обчисленні, оскільки великі числа можуть призвести до втрати точності.