Question

Усі ребра тетраедра SABC дорівнюють 10 см, SL і SN — бісектриси, точки L і N лежать відповідно на ребрах AB і BC. 1) Знайдіть периметр перерізу цього тетраедра площиною, яка проходить через точки L, N і S. 2) Знайдіть площу перерізу цього тетраедра площиною, яка проходить через точки L, N і S.

Answer 1

Задан правильный тетраэдр. Биссектрисы граней - они же и высоты и медианы. Отрезок LN - средняя линия треугольника АВС. LN = 5 см.

Апофема SL = SN = 10*cos30 = 10*(√3/2) = 5√3 см.

Высота h треугольника SLN равна:

h = √((5√3)² = (5/2)²) = √(75-(25/4)) = 5√11/2.

Ответ: периметр P(SLN) = 2*5√3 + 5 =10√3 + 5.

S(SLN) = (1/2)*5*h = (5/2)*(5√11/2) = 25√11/4.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, спочатку давайте розглянемо кілька важливих відомостей про дане тетраедр SABC:

1. Усі ребра мають довжину 10 см.
2. Точки L і N лежать на ребрах AB і BC відповідно.
3. Точка S - вершина тетраедра.

Задача розділяється на дві частини: знаходження периметру перерізу та площі перерізу тетраедра площиною, що проходить через точки L, N і S.

1. Знаходження периметру перерізу:

Перший крок - знайти точки перетину бісектрис SL і SN зі сторонами тетраедра.

Для знаходження точки перетину бісектриси з ребром, ми можемо використовувати подібні трикутники. Так як бісектриса ділить протилежні сторони пропорційно, маємо:

$\frac{SL}{SB} = \frac{AL}{AB}, \quad \frac{SN}{SC} = \frac{BN}{BC}.$

Підставимо в це вирази $SL = \frac{1}{2} \cdot AB$ та $SN = \frac{1}{2} \cdot BC$ (оскільки бісектриси ділять відповідні ребра навпіл), та $AB = BC = 10 , \text{см}$, отримаємо:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{SL}{10} = \frac{AL}{10}, \quad \frac{1}{2} \cdot \frac{SN}{10} = \frac{BN}{10}.$

Звідси отримуємо:

$SL = AL, \quad SN = BN.$

Отже, точки перетину бісектриси SL і SN з відповідними ребрами - це точки A і B.

Тепер, для знаходження периметру перерізу, ми можемо розглянути трикутник LSN, в якому LN є периметром перерізу. Так як AL = SL і BN = SN, маємо:

$LN = AL + SL + SN + BN = SL + SN + SL + SN = 2 \cdot SL + 2 \cdot SN.$

Підставимо значення SL і SN:

$LN = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot AB + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot BC = AB + BC = 10 \, \text{см} + 10 \, \text{см} = 20 \, \text{см}.$

Таким чином, периметр перерізу дорівнює 20 см.

2. Знаходження площі перерізу:

Площа перерізу може бути знайдена за допомогою площі трикутника LSN. Ми вже знаємо, що довжина LN дорівнює 20 см. Також ми можемо використовувати формулу площі трикутника, що базується на півпериметрі та радіусі вписаного кола:

$S_{LSN} = \sqrt{s \cdot (s - LN) \cdot (s - LS) \cdot (s - SN)},$

де s - півпериметр трикутника, $LS = SL = \frac{1}{2} \cdot AB = 5 , \text{см}$ та $SN = \frac{1}{2} \cdot BC = 5 , \text{см}$.

Підставляючи вирази, отримаємо:

$s = \frac{20 + 5 + 5}{2} = 15 \, \text{см}.$

$S_{LSN} = \sqrt{15 \cdot (15 - 20) \cdot (15 - 5) \cdot (15 - 5)} = \sqrt{15 \cdot (-5) \cdot 10 \cdot 10} = 50 \, \text{см}^2.$

Отже, площа перерізу тетраедра площиною, яка проходить через точки L, N і S, дорівнює 50 квадратних сантиметрів.

Зведенням двох частин задачі ми отримали:

1. Периметр перерізу: 20 см.
2. Площа перерізу: 50 квадратних сантиметрів.