Question

Знайдіть периметр і площу перерізу тетраедра ABCD площиною, яка проходить через середину ребра BD паралельно площині (ADC), якщо всі ребра тетраедра дорівнюють 4см

Answer 1

Ответ:

Периметр и площадь сечения тетраэдра ABCD равны 6 см и √3 см² соответственно.

Объяснение:

Найдите периметр и площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью, которая проходит через середину ребра BD параллельно плоскости (ADC), если все ребра тетраэдра равны 4 см.

Дано: ABCD - тетраэдр;

АВ = 4 см;

К - середина BD;

MKE || ADC.

Найти: Р(МКЕ); S(MKE)

Решение:

MKE || ADC

• Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

⇒ КЕ || DC; ME || AC; MK || AD.

Рассмотрим ΔBDC - равносторонний;

ВК = KD; KE || DC.

• Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

⇒ КЕ - средняя линия; ВЕ = ЕС.

• Средняя линия равна половине длины стороны, которую она не пересекает.

⇒ КЕ = 4 : 2 = 2 (см)

Аналогично, в ΔАВС и ΔADB:

МЕ = 2 см - средняя линия ΔАВС;

МК = 2 см - средняя линия ΔADB.

⇒ МКЕ - равносторонний треугольник.

• Периметр - сумма длин всех сторон.

Р(МКЕ) = 2 · 3 = 6 (см)

• Площадь равностороннего треугольника найдем по формуле:

• $\displaystyle \bf S=\frac{a^2\sqrt{3} }{4}$  , где а - сторона треугольника.

$\displaystyle \bf S(MKE)=\frac{2^2\sqrt{3} }{4}=\sqrt{3}\;_{(CM^2)}$

Периметр и площадь сечения тетраэдра ABCD равны 6 см и √3 см² соответственно.

#SPJ1

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі нам слід врахувати, що тетраедр - це чотирикутна піраміда, тобто трикутна піраміда з чотирма трикутниками на поверхні. Враховуючи, що всі ребра тетраедра дорівнюють 4 см, ми можемо побудувати такий тетраедр. Нехай A, B, C, D - вершини тетраедра, а E - середина ребра BD.

1. Знайдемо висоту тетраедра від вершини A до площини (BDC). Так як площина проходить через середину ребра BD паралельно площині (ADC), то ця висота буде проходити через середину ребра BD і буде перпендикулярно площині (ADC). Тобто висота тетраедра дорівнює висоті трикутника ADC, яка може бути знайдена за допомогою теореми Піфагора.

\[ h = \sqrt{AC^2 - \left(\frac{BD}{2}\right)^2} \]

Де \( AC \) - довжина ребра тетраедра (4 см), \( BD \) - довжина ребра, через середину якого проходить площина (4 см).

2. Знайдемо площу трикутника ADC, використовуючи отриману висоту і основу AD (яка також дорівнює 4 см).

\[ S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h \]

3. Тепер можемо знайти площу перерізу тетраедра площиною (BDC). Оскільки це є трикутник (ADC), просто додаємо площу трикутника ADC до площі основи тетраедра (трикутника ABC).

\[ S_{\text{перерізу}} = S_{ABC} + S_{ADC} \]

4. Знайдемо периметр трикутника ADC. Периметр трикутника дорівнює сумі довжин трьох його сторін.

\[ P_{ADC} = AD + CD + AC \]

Так як у нас усі ребра тетраедра однакові, то \( AC = AD = CD = 4 \) см.

\[ P_{ADC} = 4 + 4 + 4 = 12 \] см

Отже, ми знайшли периметр і площу перерізу тетраедра площиною, яка проходить через середину ребра BD паралельно площині (ADC).