Question

1. Функция f(x)= ×^3+3/x непрерывна на отрезке [1/2;2].Найти её наибольшее и наименьшее значение.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

f(x)= x^3+3/x   на отрезке [1/2;2].

наибольшее значение x=2 => y=9.5.

наименьшее значение x=0.5 =>  y=6.125.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции $f(x) = x^3 + \frac{3}{x}$ на отрезке $[1/2, 2]$, сначала найдем производную функции и определим критические точки, а затем используем метод анализа экстремумов.

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 3x^2 - \frac{3}{x^2}$

2. Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - \frac{3}{x^2} = 0$

Умножим уравнение на $x^2$ (поскольку $x$ не может равняться нулю) и решим его:

$3x^4 - 3 = 0$

Теперь поделим обе стороны на 3:

$x^4 - 1 = 0$

Используем разность квадратов:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0$

Теперь решим это уравнение:

$x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$

$x^2 + 1 = 0$ - не имеет действительных корней.

Таким образом, у нас есть две критические точки: $x = -1$ и $x = 1$.

3. Теперь найдем значения функции в критических точках и на концах отрезка $[1/2, 2]$:

a) $x = 1/2$: $f(1/2) = \left(\frac{1}{2}\right)^3 + \frac{3}{1/2} = \frac{1}{8} + 6 = \frac{49}{8}$

b) $x = -1$: $f(-1) = (-1)^3 + \frac{3}{-1} = -1 - 3 = -4$

c) $x = 1$: $f(1) = 1^3 + \frac{3}{1} = 1 + 3 = 4$

d) $x = 2$: $f(2) = 2^3 + \frac{3}{2} = 8 + \frac{3}{2} = \frac{19}{2}$

Теперь сравним найденные значения:

Наибольшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[1/2, 2]$ равно $\frac{49}{8}$ и достигается при $x = 1/2$.

Наименьшее значение функции $f(x)$ на этом отрезке равно $-4$ и достигается при $x = -1$.