Question

M — середина стороны AB параллелограмма ABCD, O — точка пересечения отрезков MD и AC. Площадь параллелограмма равна 24. Найдите площадь треугольника AOD.​

Answer 1

Відповідь:

площадь треугольника AOD равна a / 4.

Пояснення:

Чтобы найти площадь треугольника AOD, нам необходимо знать высоту треугольника, опущенную из вершины A на сторону OD. Эта высота будет проходить через точку O, так как MD является высотой параллелограмма ABCD, и точка O - точка их пересечения.

Пусть H - точка пересечения высоты AD и стороны OD (см. рисунок ниже).

  C ___________D

   /                             \

  /                               \

 /    O                           \

/                                    \

/                                       \

A________________B

Из условия задачи известно, что площадь параллелограмма ABCD равна 24. Давайте обозначим длины сторон параллелограмма следующим образом:

AB = a (поскольку стороны параллельны, то AB и CD имеют одинаковую длину)

BC = b

AD = h (высота параллелограмма)

Так как M является серединой стороны AB, то AM = MB = a/2.

Теперь рассмотрим треугольник AOD. Мы знаем, что точка O - точка пересечения высоты MD и стороны AC, и, следовательно, MO = OD. Также у нас есть AM = a/2.

Давайте обозначим точку H - точку пересечения высоты AD и стороны OD. Тогда OH = HD.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника, AOM и AHD, в которых известны катеты и гипотенузы:

В треугольнике AOM:

AO = AM + MO = a/2 + a/2 = a

OM = OD = a

В треугольнике AHD:

AH = AM = a/2

HD = OD - OH = OD - HD (так как OH = HD) = a - a/2 = a/2

Теперь мы можем рассчитать площадь треугольника AOD по формуле для площади прямоугольного треугольника: S = (1/2) * катет1 * катет2

S(AOD) = (1/2) * AH * OD

S(AOD) = (1/2) * (a/2) * a

S(AOD) = (1/2) * (a^2)/2

S(AOD) = a^2 / 4

Теперь нам нужно найти значение a^2. Для этого воспользуемся площадью параллелограмма ABCD:

S(ABCD) = a * h

24 = a * h

Так как нам дано, что площадь параллелограмма равна 24, а высота h еще неизвестна, то a * h = 24. Мы также знаем, что AB = a, поскольку стороны параллельны и одинаковы.

Теперь мы можем выразить a^2 через h:

a^2 = 24 / h

Итак, площадь треугольника AOD равна:

S(AOD) = a^2 / 4

S(AOD) = (24 / h) / 4

S(AOD) = 24 / (4 * h)

S(AOD) = 6 / h

Теперь нам нужно найти значение h (высоты параллелограмма). Для этого воспользуемся формулой площади параллелограмма:

S(ABCD) = a * h

24 = a * h

h = 24 / a

Теперь подставим значение h в формулу площади треугольника AOD:

S(AOD) = 6 / h

S(AOD) = 6 / (24 / a)

S(AOD) = 6 * (a / 24)

S(AOD) = a / 4

Итак, площадь треугольника AOD равна a / 4.

Answer 2

Для нахождения площади треугольника AOD, нам нужно сначала найти длины его сторон.

Дано:

1. Площадь параллелограмма ABCD равна 24.
2. M — середина стороны AB.

Так как M является серединой стороны AB, то AM = MB.

Теперь мы можем использовать формулу для площади параллелограмма, которая гласит, что площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, проведенную к этой стороне. Давайте обозначим длину стороны AB как a, а высоту параллелограмма, опущенную из вершины C на сторону AB, как h.

Тогда у нас есть:

Площадь параллелограмма ABCD = a * h = 24

Теперь, чтобы найти высоту h, мы можем использовать свойство треугольника AMC (треугольник, который образуется при проведении высоты из вершины A до стороны AB):

AM = MB (так как M - середина AB) AMC - прямоугольный треугольник (так как AM и AC - диагонали параллелограмма) Используем теорему Пифагора для треугольника AMC:

AM^2 + MC^2 = AC^2

Так как AM = MB (половина стороны AB), то AM = MB = a/2.

Теперь мы можем переписать уравнение:

(a/2)^2 + MC^2 = AC^2

Теперь мы знаем, что площадь параллелограмма равна 24, поэтому:

a * h = 24

или

a * h = 24

a * h = 24

(a/2) * h = 24

h = (2 * 24) / a

h = 48/a

Теперь, подставив значение h в уравнение для треугольника AMC:

(a/2)^2 + MC^2 = AC^2

(a/2)^2 + (48/a)^2 = AC^2

(a^2/4) + (48^2/a^2) = AC^2

Теперь мы можем найти длину AC. Зная, что площадь параллелограмма равна 24, мы можем использовать следующее уравнение:

a * h = 24

a * (48/a) = 24

48 = 24

a = 24/48

a = 1/2

Теперь, когда у нас есть значение a, мы можем найти длину AC:

AC^2 = (a^2/4) + (48^2/a^2)

AC^2 = ((1/2)^2/4) + (48^2/(1/2)^2)

AC^2 = (1/4) + (48^2/((1/4)))

AC^2 = 1 + 4 * 48^2

AC^2 = 1 + 4 * 2304

AC^2 = 1 + 9216

AC^2 = 9217

Теперь, чтобы найти AC, возьмем квадратный корень из AC^2:

AC = √9217

Теперь у нас есть длина стороны AC, и мы можем найти площадь треугольника AOD, который образован точками A, O и D.

Площадь треугольника равна половине произведения его основания и высоты. Основание треугольника - это сторона AC, а высоту мы уже нашли ранее как h:

Площадь треугольника AOD = (1/2) * AC * h

Подставляем значения:

Площадь треугольника AOD = (1/2) * (√9217) * (48/(1/2))

Площадь треугольника AOD = (√9217) * 96

Таким образом, площадь треугольника AOD равна 96√9217.