Question

СРОЧНО!!! 43 бала. Плоский кут при вершині правильної чотирикутної піраміди дорівнює α. Знайди відношення бічної поверхні піраміди до поверхні описаної навколо піраміди кулі. Розв’яжи завдання з обґрунтуванням і поясненням.

Answer 1

Ответ:

Sбок/Sсф = sin2α/π

Объяснение:

Плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды равен α. Найди отношение боковой поверхности пирамиды к поверхности описанной вокруг пирамиды сферы.

Дано: KABCD - правильная пирамида;

∠DKC = α;

Сфера(О) - описана около KABCD.

Найти: Sбок/Sсф

Решение:

• В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

⇒ площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей четырех равных равнобедренных треугольников.

• Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

Обозначим боковое ребро - b.

⇒ Sбок = 4 · 1/2 · b² sin α = 2b²sin α

Найдем площадь поверхности сферы по формуле:

         Sсф = 4πR²

Радиус сферы, описанной около правильной пирамиды, равен:

          R = b²/2h,

где b - боковое ребро, h - высота пирамиды.

Надо найти h.

Найдем сначала сторону основания по теореме косинусов.

• Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Рассмотрим ΔDKC - равнобедренный.

DC² = KD² + KC² - 2 · KD · KC · cos α

DC² = b² + b² - 2b²cos α = 2b²(1 - cos α)

Рассмотрим ΔАСD - прямоугольный.

• Теорема Пифагора:
• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

АС² = DC² + AD² = 2b²(1 - cos α) + 2b²(1 - cos α) = 4b²(1 - cos α)

AC = 2b√(1-cos α)   ⇒   AP = b√(1-cos α)

Рассмотрим ΔАКР - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

АК² = АР² + КР²

КР² = b² - b²(1-cos α) = b²(1 - 1 + cos α) = b²cos α

⇒ KP = b√cos α

Высоту нашли. Можем найти радиус:

$\displaystyle R=\frac{b^2}{2b\sqrt{cos\alpha } } =\frac{b}{2\sqrt{cos\;\alpha } }$

Площадь поверхности сферы:

Sсф = 4πb²/4cos α = πb²/cos α

Sбок/Sсф =

$\displaystyle =\frac{2b^2sin\alpha \cdot cos\alpha }{\pi b^2} =\frac{sin2\alpha }{\pi }$

#SPJ1

Answer 2

Для розв'язання цього завдання розглянемо правильну чотирикутну піраміду, у якої плоский кут при вершині дорівнює α. Звідси ми знаємо, що кожен бічний кут піраміди буде також дорівнювати α.

Позначимо довжину ребра піраміди через "a".

Спершу знайдемо бічну поверхню піраміди. Піраміда складається з чотирьох бічних трикутників і одного основного чотирикутника. Площа кожного бічного трикутника дорівнює:

S_бічного_трикутника = (1/2) * a * a * sin(α),

де α - плоский кут при вершині піраміди.

Отже, загальна площа всіх бічних трикутників дорівнює:

S_бічні_трикутники = 4 * (1/2) * a * a * sin(α) = 2a^2 * sin(α).

Тепер знайдемо площу основного чотирикутника. Оскільки це правильна піраміда, основний чотирикутник - це квадрат. Площа квадрата зі стороною "a" дорівнює:

S_основного_чотирикутника = a^2.

Загальна площа бічної поверхні піраміди дорівнює сумі площі бічних трикутників та площі основного чотирикутника:

S_бічна_поверхня = S_бічні_трикутники + S_основного_чотирикутника = 2a^2 * sin(α) + a^2.

Тепер нам потрібно знайти площу описаної навколо піраміди кулі. Описана куля відсутня в початковому тексті завдання, тому для розв'язання ми використаємо радіус описаної кулі "R".

Радіус описаної кулі можна знайти за допомогою теореми Піфагора, де "R" - радіус описаної кулі, "a" - половина діагоналі основного чотирикутника, а "h" - висота піраміди.

a^2 = R^2 + h^2.

Висоту піраміди "h" можна знайти за допомогою трикутника, одна сторона якого - половина діагоналі основного чотирикутника, а інша - радіус вписаного кола в основу піраміди. Оскільки це правильна піраміда, то цей радіус вписаного кола дорівнює половині сторони основного чотирикутника, тобто a/2. Тоді:

h^2 = a^2 - (a/2)^2 = 3a^2/4.

Підставимо h^2 у рівняння для a^2:

a^2 = R^2 + 3a^2/4.

Перегрупуємо рівняння:

R^2 = a^2 - 3a^2/4 = a^2/4.

R = a/2.

Тепер, коли ми знайшли радіус описаної кулі, можемо знайти площу поверхні цієї кулі:

S_кулі = 4πR^2 = 4π(a/2)^2 = πa^2.

Отже, відношення бічної поверхні піраміди до поверхні описаної навколо піраміди кулі дорівнює:

S_бічна_поверхня / S_кулі = (2a^2 * sin(α) + a^2) / (πa^2) = (2 * sin(α) + 1) / π.

Це і є відношення, яке ви шукали.