Question

В параллелограмме ABCD: вектор AB=a, AD=b, точка О  - пересечение диагоналей. М лежит на середине ОС. Выразите через a и b сумму: BM+DM. Просьба с рисунком  и поподробней.

Answer 1

Диагонали при пересечении делятся пополам, значит АМ=3(a+b)/4.

По правилу треугольника,

BM=AM-AB;

DM=AM-AD.

Подставляем значения AM, AB и AD:

BM=3(a+b)/4-а=(3b-a)/4;

DM=3(a+b)/4-b=(3a-b)/4.

И наконец,

BM+DM=(3b-a)/4+(3a-b)/4=(a+b)/2.

(все это, конечно, векторы, но стрелочку над буквами писать не могу)

 

Answer 2

Для вычисления суммы векторов BM и DM в параллелограмме ABCD сначала определим векторы BM и DM в терминах векторов a и b, а затем сложим их.

Давайте начнем с построения параллелограмма ABCD:

cssCopy code
       B --------------- C
       |                 |
       |                 |
       |                 |
       |                 |
       A --------------- D

По условию:

• Вектор AB = a
• Вектор AD = b
• Точка O - пересечение диагоналей, поэтому вектор OC = OD

Мы знаем, что M лежит на середине OC, так что вектор OM равен половине вектора OC. Теперь нам нужно выразить OC в терминах векторов a и b.

Мы можем представить OC как сумму векторов OA и AC:

OC = OA + AC

Теперь, OA это вектор OD минус вектор DA:

OA = OD - DA

Таким образом:

OC = (OD - DA) + AC

Теперь, AC - это вектор BC, который равен AB (a) плюс вектор CD. Но мы также знаем, что CD это -AD, поскольку D лежит на продолжении вектора AD:

AC = AB + CD = a - b

Теперь мы можем выразить OC:

OC = (OD - DA) + (a - b)

Теперь, так как M лежит на середине OC, то вектор OM равен половине вектора OC:

OM = (1/2) * OC

Теперь мы можем выразить OC через векторы a и b:

OM = (1/2) * [(OD - DA) + (a - b)]

Теперь мы можем выразить BM и DM:

BM = BO + OM = -a + (1/2) * [(OD - DA) + (a - b)]

DM = DO + OM = b + (1/2) * [(OD - DA) + (a - b)]

Теперь мы можем сложить BM и DM:

BM + DM = [-a + (1/2) * [(OD - DA) + (a - b)]] + [b + (1/2) * [(OD - DA) + (a - b)]]

Теперь распределите сложение:

BM + DM = -a + b + (1/2) * [(OD - DA) + (a - b) + (OD - DA) + (a - b)]

Теперь объедините подобные члены:

BM + DM = (-a + b) + (1/2) * [2(OD - DA) + 2(a - b)]

Теперь упростим дальше:

BM + DM = (-a + b) + (OD - DA) + (a - b)

Теперь выразим OD - DA через векторы a и b:

OD - DA = AD - DA = b - b = 0

Таким образом, BM + DM упрощается до:

BM + DM = (-a + b) + 0 + (a - b)

BM + DM = -a + b + a - b

Теперь заметим, что "a" и "-a" аннулируют друг друга, а "b" и "-b" тоже. Остается только:

BM + DM = 0

Итак, сумма BM и DM равна нулю.