Question

1)в шаре на расстояние 4 см проведено сечение площадь которого равна 9пи найти объем шара. 2)прямоугольный треугольник с катетами корень из двух и корень из 7 вращается вокруг гипотенузы. найти объем полученного тела вращения

Answer 1

1.
Сечение шара - круг с центром А.
АВ = r  - радиус сечения.
Sсеч = πr²
9π = πr²
r = 3 см.
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен сечению.
ОА перпендикулярен сечению, значит ОА = 4 см - расстояние от центра шара до сечения.
ОВ = R - радиус шара.
ΔАВО: ∠ОАВ = 90°, по теореме Пифагора
             R = √(ОА² + АВ²) = √(16 + 9) = 5 см
V = 4/3 πR³ = 4/3 π · 25 = 100π/3 см³

2.
Пусть в ΔАВС ∠С = 90°, АВ - гипотенуза.
При вращении треугольника вокруг гипотенузы получается два конуса с общим основанием.
Радиус основания R равен высоте треугольника СН,
Образующие конусов соответственно √2 и √7.
Высоты h₁ = AH, h₂ = BH.
V = 1/3 πR²h₁ + 1/3 πR²h₂ = 1/3 πR² (h₁ + h₂) = 1/3 πR²·AB
По теореме Пифагора:
АВ = √(АС² + ВС²) = √(7 + 2) = 3
R = СН = АС · ВС / АВ = √7 · √2 / 3 = √14/3
V = 1/3 π · 14/9 · 3 = 14π/9

Answer 2

1. Для нахождения объема шара по известной площади сечения, нам потребуется формула для вычисления объема шара по площади сечения. Площадь сечения можно выразить через радиус шара.

Площадь сечения шара: $S = \pi r^2,$ где $r$ - радиус сечения.

Мы знаем, что площадь сечения равна $9\pi$, следовательно: $9\pi = \pi r^2.$

Решая это уравнение относительно $r$, мы получаем $r = 3$ см.

Теперь мы можем найти объем шара, используя формулу: $V = \frac{4}{3} \pi r^3.$

Подставляя значение $r = 3$ см, мы получаем: $V = \frac{4}{3} \pi (3 \, \text{см})^3 = \frac{4}{3} \pi \times 27 \, \text{см}^3 \approx 113.097 \, \text{см}^3.$

2. Объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы, можно найти с использованием метода цилиндрических колец. Первый шаг - найти выражение для объема элементарного кольца.

Обозначим длины катетов как $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{7}$. Обозначим также длину гипотенузы как $c$, которая равна $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Рассматриваемое кольцо имеет радиус $r$ и толщину $\delta x$. Радиус этого кольца будет $r = c - x$, где $x$ - координата на оси $x$ (расстояние от начала координат до текущего среза). Таким образом, объем элементарного кольца можно выразить как $\delta V = \pi r^2 \delta x$.

Теперь интегрируем этот объем по оси $x$ от $x = 0$ до $x = c$ (длина гипотенузы):

$V = \int_0^c \pi r^2 \, dx = \int_0^c \pi (c - x)^2 \, dx.$

Решим этот интеграл:

$V = \pi \int_0^c (c^2 - 2cx + x^2) \, dx.$

$V = \pi \left[\frac{c^3}{3} - cx^2 + \frac{x^3}{3}\right]_0^c.$

$V = \pi \left(\frac{c^3}{3} - c \cdot c^2 + \frac{c^3}{3}\right).$

$V = \pi \left(\frac{2c^3}{3}\right).$

Теперь подставим $c = \sqrt{2} + \sqrt{7}$:

$V = \pi \left(\frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{7})^3}{3}\right).$

$V \approx \pi \times 6.828 \approx 21.465 \pi.$