Question

Треугольник abc равнобедренный основание àc=18, в этот треугольник вписанна окружность и параллельно этой окружности проведена касательная котороя делит боковые стороны в точках d и e найти r

Answer 1

Четырехугольник ADEC - описанный около окружности радиуса r. Значит, DE+AC=AD+EC. Но AD=EC поэтому DE+AC=2AD >AD=(18+8)/2=13.
Рассмотрим треугольники BDE и АВС - они подобны по первому признаку подобия треугольников. Значит  $\frac{AB}{BD}= \frac{BD+13}{BD}= \frac{18}{8}$, откуда BD=10,4. Значит AB=BC=10,4+13=23,4.
Найдем площадь треугольника АВС по формуле Герона - она будет равна 194,4. Теперь разделим площадь на полупериметр треугольника и найдем радиус вписанной окружности. 194,4:32,4=6.
ответ:6.

Answer 2

Для нахождения радиуса вписанной окружности в равнобедренном треугольнике ABC с известной длиной его основания AC и точками касания касательной к его окружности, нам нужно воспользоваться следующими свойствами.

1. В точке касания касательной к окружности к радиусу окружности проведена перпендикулярная линия, которая проходит через центр окружности. Пусть это будет точка M.

2. Так как треугольник ABC равнобедренный, то боковые стороны AB и BC равны.

3. Треугольник ABC также является прямоугольным, так как один из углов при вершине треугольника является прямым углом (угол CAB).

4. Половина основания AC (то есть AC/2) равна половине гипотенузы BM (то есть BM/2).

Теперь мы можем использовать эти свойства, чтобы найти радиус вписанной окружности. Обозначим радиус как R.

По теореме о прямоугольном треугольнике в треугольнике ABC:

(AC/2)^2 + (BC/2)^2 = (AB)^2

Подставляя известные значения:

(18/2)^2 + (BC/2)^2 = (AB)^2

9^2 + (BC/2)^2 = (AB)^2

81 + (BC/2)^2 = (AB)^2

Теперь мы знаем, что AB = 2R (диаметр вписанной окружности), поэтому можем записать:

81 + (BC/2)^2 = (2R)^2

81 + (BC/2)^2 = 4R^2

Теперь у нас есть два уравнения:

1. R^2 = (BC/2)^2
2. 81 + (BC/2)^2 = 4R^2

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки. Сначала найдем значение (BC/2)^2 из первого уравнения и подставим его во второе:

R^2 = (BC/2)^2

81 + R^2 = 4R^2

Перенесем R^2 на левую сторону:

3R^2 = 81

R^2 = 81 / 3

R^2 = 27

Теперь найдем R, извлекая квадратный корень:

R = √27

R = 3√3

Итак, радиус вписанной окружности равен 3√3.