Question

На биссектрисе CL треугольника ABC выбрана точка K. Оказалось, что AC+AK=CB. Докажите что угол CAK=2*уголCBK.

Answer 1

Дан треугольник АВС, СL  - биссектриса.
Точка К лежит на CL.
Сделаем рисунок.  
На стороне ВС отложим длину СМ=АС.
Соединим К и М. 
Треугольники АСК и МСК равны по двум сторонам и углу между ними. КМ=АК
По условию задачи ВС=АС+АК
Тогда КМ= ВМ,  и треугольник ВМК - равнобедренный. 
Угол КМС равен углу САК из доказанного выше равенства треугольников. 
Угол КМС - внешний угол при вершине М треугольника ВМК и равен сумме несмежных с ним внутренних углов. 
Так как углы КВМ и МКВ равны, ∠ КМС=2∠СВК, а значит, что и
 ∠САК равен 2∠СВК, что и требовалось доказать. 

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, нам придется использовать некоторые свойства биссектрис треугольника. Для начала определим некоторые углы:

Пусть угол CAB = α, угол CBA = β, и угол BCK = γ. Также пусть угол CAK = δ и угол CBK = ε.

Мы знаем, что AC + AK = CB, что можно записать как:

AC = CB - AK

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Из угловой суммы в треугольнике мы можем записать:

α + β + γ = 180° ...(1)

Рассмотрим теперь треугольник AKB. Из угловой суммы в нем мы можем записать:

δ + ε + γ = 180° ...(2)

Теперь мы можем использовать свойство биссектрисы. Биссектриса треугольника делит угол CAB на два равных угла. Таким образом, мы можем записать:

δ = α/2 ...(3)

Также, биссектриса делит угол CBA на два равных угла. Поэтому:

ε = β/2 ...(4)

Теперь мы можем подставить уравнения (3) и (4) в уравнение (2):

(α/2) + (β/2) + γ = 180°

Умножим обе стороны на 2:

α + β + 2γ = 360° ...(5)

Теперь мы можем сравнить уравнения (1) и (5):

α + β + γ = 180° α + β + 2γ = 360°

Выразим γ из уравнения (1):

γ = 180° - (α + β)

Теперь подставим это значение обратно в уравнение (5):

α + β + 2(180° - α - β) = 360°

Раскроем скобки и упростим:

α + β + 360° - 2α - 2β = 360°

Теперь упростим:

α + β - 2α - 2β = 0

-α - β = 0

-α = β

Теперь мы видим, что α и β имеют обратные отношения, и это доказывает, что угол CAK (α) равен уголу CBK (β) умноженному на -1, то есть α = -β.

Итак, у нас есть:

α = -β

Теперь давайте найдем угол CAK:

δ = α/2

Подставим значение α:

δ = (-β)/2

Теперь умножим на -2:

-2δ = β

Итак, мы получили, что угол CAK (δ) равен 2 * угол CBK (β):

δ = 2β

Или в другой форме:

CAK = 2CBK

Мы доказали, что угол CAK равен углу CBK, умноженному на 2, что и требовалось доказать.