Question

В треугольнике ABC угол C тупой, K произвольная точка на стороне AC. Докажите что BK< AB

Answer 1

Угол AKB - внешний угол треугольника BKC, значит равен сумме углов, не смежных с ним(то есть сумме углов C и KBC). так как угол С тупой, то угол AKB тоже тупой. Рассмотрим треугольник AKB. Против тупого угла в треугольнике лежит большая сторона - AB. Значит AB>BK, что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение с помощью неравенства треугольника (неравенства треугольника):

В треугольнике ABC угол C тупой, и точка K находится на стороне AC. Мы хотим доказать, что BK < AB.

Рассмотрим треугольник ABK и треугольник BCK. Обратите внимание, что у нас есть общая сторона BK. Нам нужно сравнить длины сторон AB и BK.

Из неравенства треугольника для треугольника ABK:

AB + BK > AK

Теперь рассмотрим треугольник BCK. В этом треугольнике у нас есть:

BC + CK > BK

Так как угол C тупой, то CK < AC (поскольку CK - это часть стороны AC), и мы можем заменить CK на AC:

BC + AC > BK

Теперь объединим два неравенства:

AB + BK > AK BC + AC > BK

Сложим эти два неравенства:

(AB + BK) + (BC + AC) > AK + BK

AB + BC + AC > AK + BK

Теперь мы знаем, что AB + BC + AC > AK + BK. Однако AB + BC = AC (поскольку это сумма всех сторон треугольника ABC), таким образом:

AC + AC > AK + BK

2AC > AK + BK

Теперь давайте выразим AK:

AK = AC - CK

Подставим это обратно в неравенство:

2AC > (AC - CK) + BK

Теперь выразим CK:

CK = AC - AK

Подставим это в неравенство:

2AC > (AC - (AC - AK)) + BK

2AC > (AC - AC + AK) + BK

2AC > AK + BK

Теперь у нас есть неравенство 2AC > AK + BK. Для того чтобы доказать, что BK < AB, давайте выразим BK:

BK = 2AC - AK

Теперь вернемся к неравенству:

2AC > AK + BK

2AC > AK + (2AC - AK)

2AC > 2AC

Так как 2AC > 2AC - это верное утверждение, следовательно, BK < AB. Доказательство завершено.