Question

Стороны AB и BC параллелограма ABCD пересекают плоскость альфа. Докажите,что прямые AD и DC также пересекают плоскость альфа

Answer 1

Поскольку стороны параллелограмма попарно параллельны, применим теорему. Если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая тоже пересечет. Если АВ пересекает, то и параллельная ей СД пересечет. Если ВС пересекает, то и  параллельная ей АД тоже пересечет

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, давайте воспользуемся свойствами параллелограмма и используем метод доказательства от противного.

Пусть мы предполагаем, что прямые AD и DC не пересекают плоскость альфа. Это означает, что либо они обе лежат вне плоскости альфа, либо одна из них лежит вне плоскости альфа, а другая пересекает её.

Рассмотрим первый случай: обе прямые лежат вне плоскости альфа. Поскольку параллелограмм ABCD лежит в одной плоскости (плоскости ABC), прямые AD и DC также должны лежать в одной плоскости. Но это противоречит условию, что они обе лежат вне плоскости альфа. Таким образом, этот случай невозможен.

Рассмотрим второй случай: одна из прямых (например, DC) лежит вне плоскости альфа, а другая (AD) пересекает её. Поскольку AD пересекает плоскость альфа, она должна пересечь прямую BC (поскольку AD и BC - противоположные стороны параллелограмма). Но это также приводит к противоречию, так как AD и BC не могут пересекаться за пределами плоскости альфа.

Таким образом, в обоих случаях мы пришли к противоречию, и, следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Это означает, что прямые AD и DC должны пересекать плоскость альфа, и утверждение доказано.