Question

Вычислите cos угла А если А(2;0) В(1;7) С(-2;4)

Answer 1

А(2;0) В(1;7) С(-2;4)
1 способ по теореме косинусов
$AB= \sqrt{(X_B-X_A)^2+(Y_B-Y_A)^2} = \\ \\ = \sqrt{(1-2)^2+(7-0)^2} = \sqrt{50} =5 \sqrt{2} \\ \\ BC= \sqrt{(X_C-X_B)^2+(Y_C-Y_B)^2} = \\ \\ = \sqrt{(-2-1)^2+(4-7)^2} = \sqrt{18} =3 \sqrt{2} \\ \\ AC= \sqrt{(X_C-X_A)^2+(Y_C-Y_A)^2} = \\ \\ = \sqrt{(-2-2)^2+(4-0)^2} = \sqrt{32} =4 \sqrt{2}$
Теорема косинусов
$BC^2=AB^2+AC^2-2AB*AC*cosA \\ \\ 18=50+32-2*5 \sqrt{2} *4 \sqrt{2} cosA$
80cos∠A=64
cos∠A = 0,8

2 способ через скалярное произведение векторов
$\vec {AB} (X_B-X_A;Y_B-Y_A); \vec {AB}(-1;7) \\ \\ \vec {AC}(X_C-X_A;Y_C-Y_A); \vec{AC}(-4;4) \\ \\ cosA= \frac{\vec{AB}* \vec{AC}}{|\vec {AB}|*|\vec {AC}|} = \\ \\ =\frac{(-1)*(-4)+7*4}{ \sqrt{(-1)^2+7^2} \sqrt{(-4)^2+4^2} } = \frac{32}{40} =0,8$

Ответ: cos∠A = 0,8

Answer 2

Для вычисления косинуса угла А, образованного отрезками АВ и АС, нам нужно использовать формулу косинуса для треугольника:

$\cos(A) = \frac{{AB \cdot AC}}{{|AB| \cdot |AC|}}$

где AB - скалярное произведение векторов AB и AC, а |AB| и |AC| - длины этих векторов.

Для начала, найдем координаты векторов AB и AC:

AB = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (1 - 2, 7 - 0) = (-1, 7) AC = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (-2 - 2, 4 - 0) = (-4, 4)

Теперь найдем скалярное произведение AB и AC:

AB * AC = (-1) * (-4) + 7 * 4 = 4 + 28 = 32

И длины векторов AB и AC:

|AB| = √((-1)^2 + 7^2) = √(1 + 49) = √50 ≈ 7.07 |AC| = √((-4)^2 + 4^2) = √(16 + 16) = √32 ≈ 5.66

Теперь можем вычислить косинус угла А:

$\cos(A) = \frac{{AB \cdot AC}}{{|AB| \cdot |AC|}} = \frac{{32}}{{7.07 \cdot 5.66}} ≈ 0.798$

Таким образом, $\cos(A) \approx 0.798$