Question

Около трапеции описана окружность 13, центр которой лежит на основании трапеции. Найдите площадь трапеции , если ее высота равна 12.

Answer 1

Нижнее основание
а = 2*13 = 26
Из красного прямоугольного треугольника по теореме Пифагора
(b/2)² + 12² = 13²
b²/4 + 144 = 169
b²/4 = 25
b² = 100
b = 10
Площадь
S = 1/2*(a+b)*h = 1/2*(26+10)*12 = 18*12 = 216

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойство трапеции, которое гласит: "Сумма длин двух диагоналей трапеции равна сумме длин оснований."

Пусть основание трапеции равно a, а основание, на котором лежит центр окружности, равно b.

Также, давайте обозначим точку пересечения диагоналей трапеции как точку О. Тогда, половина диагонали трапеции (расстояние от вершины до точки О) будет равно радиусу окружности, то есть 13.

Следовательно, диагональ трапеции равна 2 * 13 = 26.

Теперь у нас есть два подобных треугольника: один образован диагональю и половиной основания трапеции, а другой - диагональю и радиусом окружности.

Обозначим высоту треугольника, образованного диагональю и половиной основания, как h1, а высоту треугольника, образованного диагональю и радиусом окружности, как h2.

Тогда:

h1 = 12 (по условию задачи) h2 = 13 (радиус окружности)

Так как эти два треугольника подобны, отношение их высот равно отношению длин их оснований:

h1 / a = h2 / b

12 / a = 13 / b

Теперь мы знаем высоту и можем найти длину основания a:

a = (12 * b) / 13

Также, по теореме Пифагора, длина диагонали трапеции выражается через длины оснований и высоту:

26^2 = a^2 + b^2

Подставим значение a:

26^2 = ((12 * b) / 13)^2 + b^2

Теперь решим уравнение относительно b:

676 = (144 * b^2) / 169 + b^2

676 = (144 * b^2 + 169 * b^2) / 169

676 = (313 * b^2) / 169

313 * b^2 = 676 * 169

b^2 = (676 * 169) / 313

b^2 ≈ 365.116

b ≈ √365.116

b ≈ 19.124

Теперь найдем значение a:

a = (12 * b) / 13

a = (12 * 19.124) / 13

a ≈ 17.637

Теперь, когда у нас есть значения оснований, мы можем найти площадь трапеции:

Площадь трапеции = (a + b) * h / 2

Площадь трапеции = (17.637 + 19.124) * 12 / 2

Площадь трапеции ≈ 372.102 квадратных единицы.

Ответ: площадь трапеции около 372.102 квадратных единиц.