Question

Помогите с геометрией. Срочно! 10 класс. 3. Даны векторы а(4;-8;2) и b(-6;9;3) Найдите: а) вектор 2а-1/3b; б) найдите значения x и y, при которых векторы b и c+d коллинеарны, если с(x;2;1), d(-1;y;5); в) сравните направления и длины векторов b и c+d.

Answer 1

А)
2а=(8;-16;4)
1/3b=(-2;3;1)
2a-1/3b=A((8-(-2);(-16-3);(4-1))=A(10;-19;3)
б)Условие коллинеарности векторов = Ax/Bx=Ay/By=Az/Bz
Cz+Dz=6
3/6=9/(2+Y)=-6/(x-1)
2+Y=18
Y=16
x-1=-12
X=-11
в)
b(-6;9;3)
c+d(-12;18;6)
B и C+D сонаправлены
b=√(36+81+9)=√126
c+d=√(144+324+81)=√549
Длина вектора c+d в 2,08 раз больше длины b

Answer 2

Давайте решим ваши геометрические задачи:

1. Найдем векторы: а) Вектор 2а: умножим каждую компоненту вектора а на 2. 2а = 2 * а = 2 * (4; -8; 2) = (8; -16; 4)

   б) Вектор 1/3b: умножим каждую компоненту вектора b на 1/3. 1/3b = 1/3 * b = 1/3 * (-6; 9; 3) = (-2; 3; 1)

   в) Вектор 2а - 1/3b: вычтем из вектора 2а вектор 1/3b. 2а - 1/3b = (8; -16; 4) - (-2; 3; 1) = (8 + 2; -16 - 3; 4 - 1) = (10; -19; 3)

2. Найдем значения x и y: Два вектора коллинеарны, если они параллельны или сонаправлены. Для этого необходимо, чтобы один вектор был равен другому с точностью до множителя. Так как у нас векторы b и c + d коллинеарны, то выполнено условие:

   b = k * (c + d)

   где k - множитель. Запишем координаты векторов: b = (-6; 9; 3) c + d = (x - 1; 2 + y; 1 + 5) = (x - 1; 2 + y; 6)

   Теперь приравняем соответствующие компоненты: -6 = k * (x - 1) 9 = k * (2 + y) 3 = k * 6

   Решим последнее уравнение относительно k: k = 3/6 = 1/2

   Теперь подставим найденное значение k в первые два уравнения: -6 = 1/2 * (x - 1) 9 = 1/2 * (2 + y)

   Решим уравнения относительно x и y: -6 = 1/2 * x - 1/2 -6 + 1/2 = 1/2 * x x = (-6 + 1/2) * 2 x = -11/2

   9 = 1/2 * (2 + y) 9 = 1 + 1/2 * y 9 - 1 = 1/2 * y 8 = 1/2 * y y = 8 * 2 y = 16

   Итак, значения x и y, при которых векторы b и c + d коллинеарны, равны: x = -11/2 и y = 16

3. Сравнение направлений и длины векторов b и c + d: Направления векторов определяются по их координатам, а длины вычисляются по формуле длины вектора:

   Длина вектора b: |b| = √((-6)^2 + 9^2 + 3^2) = √(36 + 81 + 9) = √126 ≈ 11.22

   Длина вектора c + d: |c + d| = √((x - 1)^2 + (2 + y)^2 + 6^2) = √((-11/2 - 1)^2 + (2 + 16)^2 + 6^2) = √((-13/2)^2 + 18^2 + 6^2) = √(169/4 + 324 + 36) = √(169/4 + 360) = √(729/4) = 27/2 ≈ 13.5

   Сравнивая длины: |b| ≈ 11.22 |c + d| ≈ 13.5

   Длина вектора c + d больше, чем длина вектора b.