Question

В треугольнике АВС угол С=90°, угол А=45°, ВС=4√2. Найти радиус описанной окружности.

Answer 1

Решение:
1)ΔABC - прямоуг. ⇒∠B=90°-∠A=90°-45°=45° ⇒ ΔABC -равноб. ⇒ AC=BC=4√2
 По тер. Пифагора:
AC²+BC²=AB²
(4√2)²+(4√2)²=AB²
AB²=64
AB=8
2) R=AB/2 = 8/2=4
ОТВЕТ: R=4 см

Answer 2

Чтобы найти радиус описанной окружности в треугольнике АВС, мы можем использовать теорему о вписанной окружности, которая гласит: "полупериметр треугольника равен произведению радиуса описанной окружности на сумму двух радиусов вписанных окружностей, опущенных на две стороны треугольника из вершины прямого угла".

Обозначим радиус описанной окружности как R.

Полупериметр треугольника АВС (p) можно найти, сложив длины всех его сторон и разделив полученную сумму на 2:

p = (AB + AC + BC) / 2

В нашем случае сторона АС равна ВС (BC), так как угол А равен 45° и стороны при угле 45° в прямоугольном треугольнике равны:

AC = BC = 4√2

Теперь можем найти полупериметр:

p = (AB + AC + BC) / 2 p = (AB + 2 * 4√2) / 2 p = (AB + 8√2) / 2 p = AB/2 + 4√2

Теперь мы знаем, что произведение радиуса описанной окружности (R) на сумму двух радиусов вписанных окружностей (2r) равно полупериметру:

R * (2r) = p

Так как у нас прямоугольный треугольник, то одна из сторон треугольника будет диаметром описанной окружности (AB):

AB = 2 * R

Подставим это значение в уравнение:

R * (2r) = p R * (2 * R) = AB/2 + 4√2 2R^2 = AB/2 + 4√2 R^2 = (AB + 8√2) / 4

Теперь найдем длину стороны AB с помощью теоремы Пифагора, так как это прямоугольный треугольник:

AB^2 = AC^2 + BC^2 AB^2 = (4√2)^2 + (4√2)^2 AB^2 = 32 + 32 AB^2 = 64 AB = √64 AB = 8

Теперь подставим значение AB в уравнение для R:

R^2 = (AB + 8√2) / 4 R^2 = (8 + 8√2) / 4 R^2 = 8(1 + √2) / 4 R^2 = 2(1 + √2)

Наконец, найдем радиус описанной окружности R, взяв квадратный корень:

R = √(2(1 + √2))

Поэтому радиус описанной окружности в треугольнике АВС равен:

R ≈ 1.8477 (округлено до четырех знаков после запятой).