Question

Прямоугольник со сторонами 1 см и 3 см вращается около большей стороны. Найдите объем и площадь боковой поверхности тела вращения.

Answer 1

Из условия следует, что дано геометрическое тело вращения - цилиндр

R = 1 см - радиус основания цилиндра - мЕньшая сторона прямоугольника

Н=3 см - высота цилиндра - бОльшая сторона прямоугольника

S бок.пов=2π*R*H
S бок пов. =2*π*1*3
S бок.пов =6π см²

V=π*R² *H
V=π*1² *3
V=3π см³

Answer 2

Чтобы найти объем и площадь боковой поверхности тела вращения, нужно вращать прямоугольник вокруг его большей стороны, т.е., вокруг стороны длиной 3 см. При этом меньшая сторона длиной 1 см будет лежать вдоль оси вращения.

1. Объем тела вращения: Объем тела вращения можно найти с помощью интегралов, используя метод цилиндров известный как "метод карандаша".

Объем вращения в данном случае представляет собой объем тела, образованного вращением прямоугольника вокруг большей стороны (стороны длиной 3 см). Такой объем можно вычислить по формуле:

V = ∫[a, b] A(x) dx

где A(x) - площадь поперечного сечения, которое тело образует на расстоянии x от начала координат.

Так как вращение происходит вокруг стороны длиной 3 см, a = 0 (начальное расстояние) и b = 3 (конечное расстояние).

Площадь поперечного сечения прямоугольника на расстоянии x от начала координат будет равна ширине прямоугольника (1 см) умноженной на его высоту (3 см):

A(x) = 1 см * 3 см = 3 см²

Теперь мы можем вычислить объем тела вращения:

V = ∫[0, 3] 3 dx V = 3 * x | [0, 3] V = 3 * 3 - 3 * 0 V = 9 см³

Ответ: Объем тела вращения составляет 9 кубических сантиметров.

2. Площадь боковой поверхности тела вращения: Площадь боковой поверхности тела вращения можно найти с помощью формулы:

S = 2πrh

где r - радиус вращения (в данном случае равен 3 см) и h - длина прямоугольника вдоль оси вращения (в данном случае равна 1 см).

S = 2π * 3 см * 1 см S = 6π см²

Ответ: Площадь боковой поверхности тела вращения составляет 6π квадратных сантиметров.