Question

В ромб ABCD вписана окружность радиуса 12. Она касается стороны BC в точке P, причем CP:PB=9:16. Найти площадь ромба

Answer 1

Пусть коэффициент пропорциональности равен х. Тогда CP = 9x; PB=16x.

Пусть ABCD - ромб, О - точка пересечения диагоналей AC и BD; OP = 12.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OPB(∠BPO=90°):

$OB=\sqrt{BP^2+OP^2}=\sqrt{(9x)^2+12^2}=\sqrt{81x^2+144}$. Тогда BD=2*OB=2√(81x²+144).

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник BPC:

$OC=\sqrt{PC^2+OP^2}=\sqrt{256x^2+144}$. Тогда AC=2√(256x²+144).

Площадь ромба: $S=\dfrac{2\sqrt{81x^2+144}\cdot2\sqrt{256x^2+144}}{2}$

Зная, что h = 2r = 24, тогда S = BC*h=25x*24=600x

Приравнивая площади: $\displaystyle 600x=\dfrac{2\sqrt{81x^2+144}\cdot2\sqrt{256x^2+144}}{2}$

Равенство возможно при х=1, т.е. S = 300

Ответ: 300.

Answer 2

Для решения задачи вам понадобится использовать свойства окружности, ромба и теорему касательных.

Пусть O - центр вписанной окружности, а радиус окружности равен 12 единицам.

Для начала найдем длины сторон ромба ABCD. Пусть x - длина отрезка CP, тогда длина отрезка PB будет (16/9)*x.

Так как P - точка касания окружности со стороной BC, то OP перпендикулярна к BC. Также OP является медианой треугольника BCP, а значит, делит ее пополам. Обозначим точку пересечения OP с BC как M.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника: OCP и BMP. Заметим, что ОС = ОМ, так как M - середина стороны ВС ромба, и OM является медианой. Аналогично, радиус окружности равен длине отрезка BM.

Теперь можем записать два уравнения:

1. OC = OM
2. BM = 12

Вспомним, что ОС и BM состоят из отрезков CP и PB, соответственно:

3. OC = CP + x
4. BM = PB + (16/9)*x

Подставим выражения для OC и BM в уравнения (1) и (2):

CP + x = 12 PB + (16/9)*x = 12

Теперь решим эти уравнения относительно CP и PB:

CP = 12 - x PB = 12 - (16/9)*x

Теперь, чтобы найти площадь ромба, воспользуемся формулой: S = d1 * d2 / 2, где d1 и d2 - диагонали ромба.

Так как диагонали ромба перпендикулярны и образуют прямоугольный треугольник с радиусом окружности, можно записать следующие уравнения:

d1^2 + d2^2 = 2*12^2 = 288 (так как радиус окружности равен 12)

d1 = OC + CP = 12 + (12 - x) = 24 - x d2 = BM + PB = 12 + 12 - (16/9)*x = 24 - (16/9)*x

Теперь выразим x из уравнения d1^2 + d2^2 = 288:

(24 - x)^2 + (24 - (16/9)*x)^2 = 288

Решим это уравнение:

576 - 48x + x^2 + 576 - (768/9)*x + (256/81)*x^2 = 288

Приведем уравнение к квадратному виду:

(1 + 256/81)*x^2 - (48 + 768/9)*x + 576 + 576 - 288 = 0

(1 + 256/81)*x^2 - (48 + 768/9)*x + 864 = 0

Умножим все члены уравнения на 81 для избавления от дробей:

81 + 256x^2 - 7776x + 69984 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант D:

D = (-7776)^2 - 4 * 256 * 69984 = 60466176

Так как D > 0, у уравнения два корня:

x1 = (7776 + √60466176) / 512 x2 = (7776 - √60466176) / 512

Найдем соответствующие значения CP и PB:

CP = 12 - x1 PB = 12 - (16/9)*x1

Теперь можем найти площадь ромба:

S = CP * PB = (12 - x1) * (12 - (16/9)*x1)

Вычислим численное значение этого выражения и получим окончательный ответ.