Question

В трапеции ABCD (AD || BC) диагонали АC и ВD перпендикулярны друг другу, AС = 5, BD = 13. Найти расстояние между серединами оснований.

Answer 1

1) Осуществим дополнительное построение:
Проведём отрезок СЕ параллельно диагонали ВD => AC перпендикулярен СЕ.
Также проведём отрезок СК параллельно отрезку МN

Из этого следует, что четырёхугольник ВСЕD - параллелограмм ( СЕ || ВD , BC || DE ).
Aналогично, четырёхугольник МСКN - параллелограмм ( CK || MN, МС || KN )
Поэтому, BC = DE , MC = NK, BD = CE = 13
AE = AD + DE = AD + BC
AK = AN + NK = (1/2) × AD + (1/2) × BC = (1/2) × ( ВС + AD )
Значит, K - середина отрезка АЕ , АК = КЕ
Поэтому , МN = CK - медиана в ∆ АСЕ

2) Рассмотрим ∆ АСЕ ( угол АСЕ = 90° ):
" В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы " →
По теореме Пифагора:
AE² = 13² + 5² = 169 + 25 = 194
AE = √194

Значит, искомый отрезок MN, равный отрезку СК, имеет длину:
СК = MN = (1/2) × AE = (1/2) × √194 = √194/2


ОТВЕТ: √194/2

Answer 2

M - середина AB, P - середина BC, Q - середина AD

Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

MP - средняя линия в ABC, MP||AC, MP=AC/2

MQ - средняя линия в ABD, MQ||BD, MQ=AD/2

AC⊥BD => MP⊥MQ

По теореме Пифагора

PQ=√(MP^2+MQ^2) =√(AC^2+AD^2)/2 =√194/2

Answer 3

Давайте обозначим точку пересечения диагоналей AC и BD за точку M. Также обозначим середины оснований AB и CD за точки P и Q соответственно.

Так как диагонали перпендикулярны друг другу, то AM и MC являются высотами трапеции, а значит, AMP и CQM прямоугольные треугольники.

Теперь, используем теорему Пифагора для нахождения расстояния между серединами оснований:

1. Найдем длину диагонали AC:

AC^2 = AM^2 + MC^2

Поскольку AM и MC являются высотами прямоугольных треугольников, то AM = AP + PM и MC = CQ + QM:

AC^2 = (AP + PM)^2 + (CQ + QM)^2

2. Теперь найдем длину диагонали BD:

BD^2 = BM^2 + MD^2

Так как трапеция ABCD является прямоугольной, то BM = BP - PM и MD = DQ - QM:

BD^2 = (BP - PM)^2 + (DQ - QM)^2

3. Найдем длину BM:

BM = BD - DM BM = 13 - DQ

Теперь соединим уравнения, чтобы решить задачу:

AC^2 - BD^2 = (AP + PM)^2 + (CQ + QM)^2 - ((BP - PM)^2 + (DQ - QM)^2)

Раскроем скобки:

AC^2 - BD^2 = AP^2 + 2AP·PM + PM^2 + CQ^2 + 2CQ·QM + QM^2 - BP^2 + 2BP·PM - PM^2 - DQ^2 + 2DQ·QM - QM^2

PM^2 и QM^2 уничтожатся, и у нас останется:

AC^2 - BD^2 = AP^2 + 2AP·PM + CQ^2 + 2CQ·QM - BP^2 + 2BP·PM - DQ^2 + 2DQ·QM

Теперь объединим похожие члены:

AC^2 - BD^2 = AP^2 - BP^2 + 2AP·PM + 2BP·PM + CQ^2 - DQ^2 + 2CQ·QM + 2DQ·QM

Так как трапеция ABCD является прямоугольной, то AP = CQ и BP = DQ:

AC^2 - BD^2 = AP^2 - BP^2 + 2AP·PM + 2BP·PM + CQ^2 - DQ^2 + 2CQ·QM + 2DQ·QM

А также известно, что AC = 5 и BD = 13:

5^2 - 13^2 = AP^2 - BP^2 + 2AP·PM + 2BP·PM + AP^2 - BP^2 + 2AP·QM + 2BP·QM

Выразим AP^2 - BP^2:

25 - 169 = 2AP·PM + 2BP·PM + 2AP·QM + 2BP·QM

-144 = 2PM(AP + BP) + 2QM(AP + BP)

Теперь выразим PM:

PM = -72 / (AP + BP)

Мы знаем, что AP = CQ и BP = DQ:

PM = -72 / (CQ + DQ)

Теперь найдем MQ:

MQ = QM = (CQ - PM) = (CQ + 72 / (CQ + DQ))

Теперь находим расстояние между серединами оснований:

Расстояние между серединами оснований = PQ = (BP + DQ) / 2

Так как BP = DQ, то:

PQ = 2BP / 2 = BP

PQ = DQ

Таким образом, расстояние между серединами оснований равно DQ, то есть:

PQ = DQ = MQ = (CQ + 72 / (CQ + DQ))

Теперь нам нужно решить уравнение для CQ и DQ.

Поскольку трапеция ABCD является прямоугольной, то CQ и DQ - это высоты прямоугольных треугольников AQC и BQD соответственно.

Мы также знаем, что AC = 5 и BD = 13:

CQ^2 + 5^2 = AQ^2

DQ^2 + 13^2 = BQ^2

Поскольку треугольники AQC и BQD подобны, отношение соответствующих сторон равно:

CQ / DQ = AC / BD = 5 / 13

Теперь у нас есть два уравнения:

1. CQ^2 + 25 = AQ^2
2. DQ^2 + 169 = BQ^2
3. CQ / DQ = 5 / 13

Умножим оба уравнения на DQ^2 и CQ^2 соответственно:

1. CQ^2 * DQ^2 + 25 * DQ^2 = AQ^2 * DQ^2
2. DQ^2 * CQ^2 + 169 * CQ^2 = BQ^2 * CQ^2

Теперь заменим AQ^2 и BQ^2 согласно подобным треугольникам:

1. CQ^2 * DQ^2 + 25 * DQ^2 = (CQ * 5)^2
2. DQ^2 * CQ^2 + 169 * CQ^2 = (DQ * 13)^2

Теперь у нас есть система уравнений:

1. CQ^2 * DQ^2 + 25