Question

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 4, а высота равна 3. Найдите расстояние от середины ребра AA1 до плоскости ACD1

Answer 1

Пусть А - начало координат

Ось X - AB

Ось Y - AD

Ось Z - AA1

Координаты точки М - середины AA1

M(0;0;3/2)

Координаты точек плоскости

С(4;4;0)

D1(0;4;3)

Уравнение плоскости ( проходит через начало координат)

ax+by+cz=0

Подставляем координаты точек плоскости

4a+4b=0

4b+3c=0

Пусть с= -4 Тогда b=3 a= -3

Искомое уравнение

-3x+3y-4c=0

нормализованное уравнение плоскости

k=√ (3^2+3^3+4^2)= √34

-3x/√34+3y/√34-4z/√34=0

подставляем координаты M в нормализованное уравнение чтобы найти искомое расстояние

| -3*4/(2√34) | = 3√34/17

Answer 2

Чтобы найти расстояние от середины ребра AA1 до плоскости ACD1 в данной призме, мы можем воспользоваться следующим методом.

1. Найдем координаты точек A, A1, C и D1 в пространстве. Зная, что сторона основания ABCD равна 4, а высота призмы равна 3, мы можем представить координаты следующим образом:

A(0, 0, 0) A1(0, 0, 3) C(4, 0, 0) D1(4, 0, 3)

2. Найдем координаты середины ребра AA1. Середина ребра AA1 будет иметь координаты, равные среднему значению соответствующих координат точек A и A1:

Середина ребра AA1: (0, 0, (0 + 3) / 2) = (0, 0, 1.5)

3. Теперь, чтобы найти расстояние от точки (0, 0, 1.5) до плоскости ACD1, воспользуемся формулой для расстояния от точки до плоскости.

Для плоскости ACD1, у которой уравнение имеет вид Ax + By + Cz + D = 0, найдем параметры A, B, C и D. Известно, что A, B и C - это коэффициенты перед переменными x, y и z в уравнении плоскости, а D - это свободный член.

1. Найдем нормаль к плоскости ACD1. Для этого возьмем векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости ACD1: вектор AC и вектор AD1.

Вектор AC = C - A = (4, 0, 0) - (0, 0, 0) = (4, 0, 0) Вектор AD1 = D1 - A = (4, 0, 3) - (0, 0, 0) = (4, 0, 3)

2. Найдем векторное произведение:

Нормаль к плоскости ACD1 = AC x AD1 = (4, 0, 0) x (4, 0, 3) = (0, 12, 0)

Таким образом, уравнение плоскости ACD1 имеет вид 12y = 0, что эквивалентно y = 0.

3. Теперь, чтобы найти расстояние от точки (0, 0, 1.5) до плоскости ACD1, подставим y = 0 в уравнение плоскости:

12 * 0 = 0

Расстояние от точки (0, 0, 1.5) до плоскости ACD1 равно |1.5 - 0| = 1.5.

Таким образом, расстояние от середины ребра AA1 до плоскости ACD1 равно 1.5 единицы.