Question

В треугольнике ABC угол C- тупой и АВ=4. Докажите, что сумма длин медиан треугольнике меньше 9

Answer 1

Тупоугольный треугольник АВС

Угол А тупой

Сторона ВС = 4

Медианы АЕ, BF, CD

Координаты вершин

A(x;y)

B(2;0)

C(-2;0)

D((2+x)/2;y/2)

E(0;0)

F((x-2)/2;y/2)

Тупоугольным треугольник будет только если вершина А лежит внутри окружности, построенной на стороне CD и диаметром 4

AE² = x² + y² < 2²

|AE| < 2

Медиана АЕ меньше 2

Медиана ВF

ВF² = (2 – (x-2)/2)² + y²/4 = 1/4*(x² – 12x + y² + 36)

Медиана СD

CD² = ((2+x)/2+2)² + y²/4 = 1/4*(x² + 12x + y² + 36)

Сумма медиан CD и BF

S(x;y) = 1/2*sqrt(x² – 12x + y² + 36) + 1/2*sqrt(x² + 12x + y² + 36)

Производная по x, ищем экстремум

dS/dx = 1/4*((2(x - 6))/sqrt(x² - 12x + y² + 36) + (2(x + 6))/sqrt(x² + 12x + y² + 36)) = 0

(x - 6)/sqrt(x² - 12x + y² + 36) + (x + 6)/sqrt(x² + 12x + y² + 36) = 0

Числитель

(x - 6)*sqrt(x² + 12x + y² + 36) + (x + 6)*sqrt(x² - 12x + y² + 36) = 0

Тривиальное решение

х = 0 для любого y

Знаменатель при этом неважен, лишь бы оставался ненулевым

Это экстремум, но минимум или максимум — пока неизвестно.

Для определения проще всего вычислить значение S(0;2) и S(1;2)

S(0;2) = 1/2*sqrt(4 + 36) + 1/2*sqrt(4 + 36) = sqrt(40) ≈ 6,325

S(1;2) = 1/2*sqrt(1 – 12 + 4 + 36) + 1/2*sqrt(1 + 12 + 4 + 36) = 1/2*sqrt(29) + 1/2*sqrt(53) ≈ 6,333

Т.е. при x = 0 имеется минимум суммы длин медиан

Минимальной суммой медиан к боковым сторонам обладает равнобедренный треугольник

Производную по y можно не брать, т. к. по y сумма длин — функция возрастающая и максимальное значение суммы длин будет при максимальном значении y

Но из условия тупоугольности треугольника у нас y не может превосходить 2

Медиана к основанию тоже не превосходит 2, поэтому значение сумм длин всех трёх медиан будет не превосходить

S(0;2) + 2 = 2 + sqrt(40) ≈ 8,325

Что меньше требуемых по условию 9

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся неравенством треугольника, которое утверждает, что сумма длин двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Обозначим точку пересечения медиан треугольника ABC за M. Таким образом, AM является медианой, и она делит сторону BC пополам. Аналогично, BM и CM также являются медианами, и каждая из них делит соответствующую сторону пополам.

Давайте обозначим AM = BM = x (половина стороны BC) и CM = y (половина стороны AB).

Теперь нам известно, что АВ = 4, и угол C тупой, что означает, что длины медиан AM, BM и CM будут меньше половины стороны AB. То есть:

x < 2

y < 2

Теперь давайте рассмотрим сумму длин медиан треугольника:

AM + BM + CM = 2x + y

Поскольку угол C тупой, то по теореме косинусов:

AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 * BC * AC * cos(C)

4^2 = BC^2 + AC^2 + 2 * BC * AC

16 = BC^2 + AC^2 + 2 * BC * AC

Мы также знаем, что медиана AM связана с сторонами треугольника следующим соотношением:

4 * AM^2 = 2 * AC^2 + 2 * BC^2 - BC^2 = 2 * AC^2 + BC^2

Теперь мы можем выразить BC^2 через AM и AC:

BC^2 = 4 * AM^2 - 2 * AC^2

Теперь, чтобы доказать, что сумма медиан меньше 9, нужно показать, что:

AM + BM + CM = 2x + y < 9

Мы знаем, что x < 2 и y < 2, таким образом, максимальное значение суммы 2x + y при данных ограничениях на x и y будет:

2 * 2 + 2 = 6

Таким образом, сумма медиан треугольника ABC всегда меньше 6, что меньше 9. Таким образом, утверждение доказано.