Question

Серединный перпендикуляр биссектрисы AD треугольника ABC пересекает луч ВС в точке N. докажите что прямая NA-касательная к окружности, описанной около треугольника АВС.

Answer 1

Точка N лежит на серединном перпендикуляре к AD, следовательно равноудалена от концов отрезка.

△AND - равнобедренный, DAN=ADN

DAN =A/2 +NAC

ADN =A/2 +B (внешний угол △BAD)

=> NAC =B =∪AC/2

Угол между прямой NA и хордой AC равен половине дуги, стягиваемой хордой, следовательно NA является касательной.

 

Докажем этот признак для острого угла NAC.

NAC =∪AC/2 =AOC/2 =AOH

△AOC - равнобедренный, OH - биссектриса и высота

OAH =90-AOH =90-NAC => OAN =OAH+NAC =90

Прямая NA перпендикулярна радиусу OA, следовательно является касательной.  

Для тупого угла как для смежного с NAC:

180-NAC =(360-∪AC)/2 => NAC=∪AC/2, далее по доказанному.

Answer 2

Для доказательства того, что прямая NA является касательной к окружности, описанной около треугольника ABC, мы можем воспользоваться теоремой об угле между касательной и хордой окружности.

Давайте обозначим через O центр окружности, описанной около треугольника ABC. Тогда луч ВС и луч BA являются хордами этой окружности, и мы хотим доказать, что прямая NA является касательной к этой окружности в точке N.

Для начала рассмотрим треугольник BAO и треугольник CAN. Они имеют следующие общие свойства:

1. Угол BAO и угол CAN оба равны 90 градусов, так как AO и AN - биссектрисы угла BAC, и AD - перпендикуляр к BC.
2. Угол ABO и угол ACN оба равны, так как это углы, образованные пересекающимися биссектрисами BA и CA.

Из этих свойств следует, что треугольники BAO и CAN подобны по углам (по AA-признаку подобия).

Теперь давайте рассмотрим угол BNA. Он равен сумме углов BAO и CAN, так как угол BAO + угол ACN = угол BNA (по свойству треугольника). Из подобия треугольников BAO и CAN мы знаем, что угол BAO равен углу CAN. Таким образом, угол BNA равен сумме двух равных углов, то есть 180 градусов.

Теперь мы видим, что угол BNA равен 180 градусов, что означает, что точка N лежит на окружности, описанной около треугольника ABC. По определению касательной, прямая NA является касательной к этой окружности в точке N.

Таким образом, мы доказали, что прямая NA является касательной к окружности, описанной около треугольника ABC.