Question

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Можно ли провести плоскость через прямые: 1) AB и BD1; 2) BB1 и DD1; 3) AA1 и BD1; 4) A1D и B1C 5) AD и B1C. Проходит ли плоскость BDD1 через точку B1?

Answer 1

Ответ:

Плоскость можно провести через две пересекающиеся прямые или через две параллельные прямые.

Через скрещивающиеся прямые плоскость провести нельзя.

1) Да, так как прямые АВ и BD₁ имеют общую точку В, значит пересекаются.

2) Да, так ВВ₁ и DD₁ параллельны (ВВ₁║СС₁ и СС₁║DD₁ как противоположные стороны квадрата, значит ВВ₁║DD₁).

3) Нет, так как прямые АА₁ и BD₁ скрещивающиеся (АА₁ лежит в плоскости (AA₁D₁), BD₁ пересекает эту плоскость в точке D₁, не лежащей на АА₁).

4) Да, так как A₁D║B₁C. Рассмотрим четырехугольник A₁B₁CD: А₁В₁║CD (А₁В₁║C₁D₁, а C₁D₁║CD как противолежащие стороны квадратов), и

А₁В₁ = CD как ребра куба.

Тогда  A₁B₁CD - параллелограмм, ⇒ A₁D║B₁C.

5) Нет, так как прямые АD и B₁C скрещивающиеся (АD лежит в плоскости (ABC), B₁C пересекает эту плоскость в точке C, не лежащей на АD).

Плоскость BDD₁ проходит через точку B₁. Точка В принадлежит плоскости BDD₁ и прямая DD₁ лежит в этой плоскости, значит прямая, проходящая через В параллельно DD₁ лежит в этой плоскости.

Answer 2

Для ответа на вопросы о возможности проведения плоскостей через данные прямые, нужно учитывать следующее правило:

Возможно провести плоскость через две прямые тогда и только тогда, когда они пересекаются или параллельны.

Итак, рассмотрим каждый случай:

1. Плоскость через прямые AB и BD1 - Нельзя провести такую плоскость, потому что прямые AB и BD1 пересекаются.

2. Плоскость через прямые BB1 и DD1 - Нельзя провести такую плоскость, потому что прямые BB1 и DD1 пересекаются.

3. Плоскость через прямые AA1 и BD1 - Нельзя провести такую плоскость, потому что прямые AA1 и BD1 пересекаются.

4. Плоскость через прямые A1D и B1C - Можно провести такую плоскость, потому что прямые A1D и B1C параллельны.

5. Плоскость через прямые AD и B1C - Можно провести такую плоскость, потому что прямые AD и B1C пересекаются.

Относительно плоскости BDD1, нам нужно определить, проходит ли она через точку B1. Для этого нужно узнать, лежит ли точка B1 на прямой BDD1. Так как мы знаем, что прямые BB1 и DD1 пересекаются (это было указано в вопросе 2), то точка B1, как и любая точка на прямой BB1, также лежит на плоскости BDD1. Таким образом, плоскость BDD1 проходит через точку B1.