Question

В шар радиуса R вписана правильная четырёхугольная призма, сторона основания которой равна a. Найдите площадь боковой поверхности данной призмы​

Answer 1

Так как призма вписана в шар, то своими углами она касается шара, и, следовательно, радиус шара будет равен также отрезку, проведенному из центра шара до одного из углов призмы (рисунок прилагается)

Рассмотрим треугольник АСС1, где С1О=ОА как радиусы описанного шара, то есть АС1=2R.

Треугольник прямоугольный, так как призма прямоугольная с высотой СС1. Основание АС равнo АВ√2 (как диагональ квадрата АВСD) = a√2, => по теореме Пифагора можем найти высоту СС1:

√(АС1²-АС²)=√((2R)²-(a√2)²)=√(4R²-2a²), и, как следствие, площадь боковой поверхности:

Sбок=Росн•h=4a•CC1=4a√(4R²-a²)

Answer 2

Для решения этой задачи давайте разберемся с геометрической конфигурацией описанной фигуры. У нас есть сфера радиуса R, внутри которой вписана правильная четырёхугольная призма. Эта призма имеет сторону основания a.

Первым шагом определим характеристики данной призмы. Поскольку это правильная призма, у нее все грани одинаковы и равны между собой. Также у нас есть сфера вокруг этой призмы. Мы знаем, что радиус сферы R.

Теперь рассмотрим одну из боковых граней призмы. Это будет прямоугольник со сторонами a и высотой, которую мы обозначим как h. Важно заметить, что диагональ этого прямоугольника равна диагонали основания призмы.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту h. Так как это правильная призма, то диагональ основания равна диагонали боковой грани призмы, и мы можем записать:

\[h = \sqrt{R^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности, умножим периметр основания на высоту. Периметр основания P равен \(4a\) для четырехугольника. Таким образом, площадь боковой поверхности \(S_b\) будет равна:

\[S_b = P \cdot h = 4a \cdot \sqrt{R^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]

Это и есть выражение для площади боковой поверхности данной призмы, вписанной в сферу радиуса R.