Question

Дан параллелограмм ABCD, F – точка пересечения диагоналей, О – произвольная точка пространства. Доказать: 1) (OA) ⃗+(OC) ⃗=(OB) ⃗+(OD) ⃗; 2) (OF) ⃗=1/4((OA) ⃗+(OB) ⃗+(OC) ⃗+(OD) ⃗).

Answer 1

task/29635078  Дан параллелограмм ABCD , F – точка пересечения диагоналей ,  О – произвольная  точка    пространства.       Доказать:          1) (OA) ⃗+(OC) ⃗=(OB) ⃗+ (OD) ⃗ ; 2) (OF) ⃗=1/4((OA) ⃗+(OB) ⃗+(OC) ⃗+(OD) ⃗) .

Решение :  Если векторы   исходят из одной точки , то вектор суммы исходит из общей начальной точки векторов и является диагональю параллелограмма, сторонами которого являются данные векторы .             * * *  ( Сумма векторов , правило параллелограмма ) * * *

1)   (OA) ⃗+ (OC) ⃗  =2*(OF) ⃗    и     (OB) ⃗+(OD) ⃗ = 2*(OF) ⃗

значит  (OA) ⃗+ (OC) ⃗ = (OB) ⃗+(OD) ⃗

2)  (1/4) * [ (OA) ⃗+(OB) ⃗+ (OC) ⃗+(OD) ⃗] =

(1/4) * [ (OA) ⃗+ (OC) ⃗+(OB) ⃗+(OD) ⃗] =

(1/4) * [ 2*(OF) ⃗+2*(OF)  ]  =

(1/4) * 4*(OF) ⃗ = (OF) ⃗ .

Answer 2

Для доказательства данных утверждений в параллелограмме ABCD и произвольной точке O, нам понадобятся свойства параллелограмма и используемые векторные операции.

Дано: Параллелограмм ABCD с точкой пересечения диагоналей F и произвольной точкой O.

1. Доказательство (OA) ⃗ + (OC) ⃗ = (OB) ⃗ + (OD) ⃗:

Рассмотрим треугольники AOF и COD:

Треугольник AOF:

• Отрезок OA - это вектор (OA) ⃗.
• Отрезок OF - это вектор (OF) ⃗.
• Отрезок AF - это вектор (AF) ⃗.

Треугольник COD:

• Отрезок OC - это вектор (OC) ⃗.
• Отрезок OD - это вектор (OD) ⃗.
• Отрезок CD - это вектор (CD) ⃗.

Свойства параллелограмма:

1. Диагонали параллелограмма делятся пополам: AF = CD и OF = OD.

Теперь посмотрим на выражение (OA) ⃗ + (OC) ⃗: (OA) ⃗ + (OC) ⃗ = (AF) ⃗ + (OF) ⃗ + (CD) ⃗ + (OD) ⃗.

Используя свойства параллелограмма (AF = CD и OF = OD), можно записать: (OA) ⃗ + (OC) ⃗ = (OF) ⃗ + (OF) ⃗ + (OD) ⃗ + (OD) ⃗ = 2(OF) ⃗ + 2(OD) ⃗.

Теперь рассмотрим выражение (OB) ⃗ + (OD) ⃗: (OB) ⃗ + (OD) ⃗ = (OF) ⃗ + (AF) ⃗ + (OD) ⃗ + (OD) ⃗.

Используя свойства параллелограмма (AF = CD и OF = OD), можно записать: (OB) ⃗ + (OD) ⃗ = (OF) ⃗ + (OF) ⃗ + (OD) ⃗ + (OD) ⃗ = 2(OF) ⃗ + 2(OD) ⃗.

Таким образом, мы доказали, что (OA) ⃗ + (OC) ⃗ = (OB) ⃗ + (OD) ⃗.

2. Доказательство (OF) ⃗ = 1/4((OA) ⃗ + (OB) ⃗ + (OC) ⃗ + (OD) ⃗):

Рассмотрим выражение (OA) ⃗ + (OB) ⃗ + (OC) ⃗ + (OD) ⃗: (OA) ⃗ + (OB) ⃗ + (OC) ⃗ + (OD) ⃗ = (OF) ⃗ + (AF) ⃗ + (OF) ⃗ + (OF) ⃗ + (OD) ⃗ + (OD) ⃗.

Используя свойства параллелограмма (AF = CD и OF = OD), можно записать: (OA) ⃗ + (OB) ⃗ + (OC) ⃗ + (OD) ⃗ = 3(OF) ⃗ + 2(OD) ⃗.

Теперь перепишем выражение, выделив (OF) ⃗: 3(OF) ⃗ + 2(OD) ⃗ = 4(OF) ⃗ - (OF) ⃗ + 2(OD) ⃗.

Теперь делим выражение на 4: (OF) ⃗ = 1/4((OA) ⃗ + (OB) ⃗ + (OC) ⃗ + (OD) ⃗).

Таким образом, мы доказали, что (OF) ⃗ = 1/4((OA) ⃗ + (OB) ⃗ + (OC) ⃗ + (OD) ⃗).

Это завершает доказательство обоих утверждений.