Question

Написать все формулы, связанные с радиусами описанной и вписанной окружности.

Answer 1

Обозначения:

R — радиус описанной окружности;

r — радиус вписанной окружности;

$r_a$ — радиус вневписанной окружности, соответствующей стороне $a$;

$\alpha, \: \beta, \: \gamma$ — углы, противолежащие сторонам a, b и c соответственно;

$h_a$ — высота, соответствующая стороне a.

$\dfrac{a}{\sin \alpha}=\dfrac{b}{\sin \beta}=\dfrac{c}{ \sin \gamma}=2R$ — теорема синусов.

$S=\dfrac{abc}{4R}=pr$ — формулы площади треугольника.

$\dfrac{1}{r_a}+\dfrac{1}{r_b}+\dfrac{1}{r_c}=\dfrac{1}{h_a}+\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}=\dfrac{1}{r}$ — связь между радиусами вневписанных окружностей, длинами высот и радиусом вписанной окружности.

$r_a+r_b+r_c-r=4R$

$\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma=1+ \dfrac{r}{R}$

$S=2R^2 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma=Rr(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma)=\\ =4Rr \cos \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{\beta}{2} \cos \dfrac{\gamma}{2}=\sqrt{rr_ar_br_c$

— менее известные формулы площади треугольника.

$d^2=R^2-2Rr$ — формула Эйлера, где d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

$d_a^2=R^2+2Rr_a$ — аналог формулы Эйлера для вычисления расстояния между центрами вневписанной (соответствующей стороне a) и описанной окружностей.

***

Этого хватит? Ведь записать «все» формулы невозможно: комбинируя имеющиеся формулы и находя новые зависимости, можно создать практически бесконечный список.

Answer 2

Для треугольника с заданными сторонами $a$, $b$ и $c$, радиусы описанной ($R$) и вписанной ($r$) окружностей могут быть выражены следующими формулами:

1. Радиус описанной окружности ($R$): $R = \frac{abc}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ где $s = \frac{a + b + c}{2}$ - полупериметр треугольника.

2. Радиус вписанной окружности ($r$): $r = \frac{\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}$

Дополнительно, можно выразить радиусы вписанной и описанной окружностей через углы треугольника:

3. Радиус вписанной окружности ($r$) через углы треугольника: $r = \frac{abc}{4K}$ где $K$ - площадь треугольника.

4. Радиус описанной окружности ($R$) через углы треугольника: $R = \frac{abc}{4K}$

Однако для использования формул (3) и (4) требуется знание углов треугольника, а не только его сторон.

Помните, что эти формулы применимы только к невырожденным треугольникам, то есть треугольникам, у которых сумма длин любых двух сторон больше длины третьей стороны.