Question

В треугольнике авс стороны ав и BC равны K середина AC. BC=13см.На сторонах АВ И ВС соответственно отмечены точки Е и P так, что углы AKE и CKP равны, BE = 5см.Найдите длину PC.

Answer 1

.........................

Answer 2

Для решения этой задачи давайте внимательно рассмотрим треугольник ABC и обозначим необходимые отрезки.

1. Пусть K - середина стороны AC. Тогда AK = KC (по определению середины).

2. BE = 5 см (дано в условии).

3. BC = 13 см (дано в условии).

4. Пусть PC = x (длина отрезка PC, которую мы хотим найти).

Мы знаем, что углы AKE и CKP равны. Таким образом, треугольники AKE и CKP являются подобными, потому что у них равны два угла:

• Угол AKE = углу CKP (по условию)
• Угол KAE = углу KPC (потому что это вертикальные углы относительно прямой AC)

Теперь, поскольку треугольники AKE и CKP подобны, отношение длин соответствующих сторон будет одинаковым:

$\frac{KE}{KP} = \frac{AE}{CP}$

Заметим, что KE = KC + CE, а KC = AK, и AE = AC - CE, а AC = AK + KC. Подставим это в уравнение:

$\frac{KC + CE}{KP} = \frac{AK + KC - CE}{CP}$

Теперь, учитывая, что KC = AK (по условию) и CE = BE (по условию), получаем:

$\frac{AK + BE}{KP} = \frac{AK + AK - BE}{CP}$

Теперь воспользуемся тем, что AK = KC:

$\frac{KC + BE}{KP} = \frac{2 \cdot KC - BE}{CP}$

Подставим значения:

$\frac{13 + 5}{KP} = \frac{2 \cdot 13 - 5}{x}$

Упростим:

$\frac{18}{KP} = \frac{21}{x}$

Теперь найдем значение x:

$x = \frac{21 \cdot KP}{18}$

Теперь заметим, что треугольник AKE - прямоугольный (потому что K - середина стороны AC):

$AK^2 + KE^2 = AE^2$

Теперь подставим значения:

$AK^2 + (KC + CE)^2 = (AC - CE)^2$

$AK^2 + (AK + BE)^2 = (2 \cdot AK + BE)^2$

Раскроем скобки:

$AK^2 + AK^2 + 2 \cdot AK \cdot BE + BE^2 = 4 \cdot AK^2 + 4 \cdot AK \cdot BE + BE^2$

Теперь упростим:

$2 \cdot AK^2 = 2 \cdot AK \cdot BE$

Сократим на 2AK (предполагая, что AK ≠ 0):

$AK = BE$

Мы знаем, что BE = 5 см (по условию), следовательно, AK = 5 см.

Теперь, используем AK для нахождения KP:

$\frac{18}{KP} = \frac{21}{x}$

$\frac{18}{KP} = \frac{21}{\frac{21 \cdot KP}{18}}$

Умножим обе стороны на $\frac{18 \cdot KP}{21}$:

$18 = KP$

Таким образом, $KP = 18$ см.

Теперь найдем длину PC:

$x = \frac{21 \cdot KP}{18} = \frac{21 \cdot 18}{18} = 21$ см

Ответ: длина PC равна 21 см.