Question

АГиЛА Составьте каноническое уравнение эллипса с центром в точке (2:-1), если его малая ось равна 4, а одна из директрис задана уравнением y+5=0

Answer 1

Проанализируем исходные данные.

Дан эллипс с центром в точке (2:-1) и малой осью, равной 4.

Одна из директрис задана уравнением y+5=0, что равносильно у = -5.

Тогда расстояние от центра до директрисы равно |-5 - (-1)| = 4.

Рассмотрим точку эллипса на малой оси. Она удалена от центра на 4 и от директрисы на 4 единицы (так как малая ось параллельна директрисе).

Так как все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса, то получается, что фокус параболы находится в её центре.

Это говорит о том, что мы имеем не эллипс, а окружность радиуса 4.

Её уравнение: (х - 2)² + (у + 1)² = 4².

Answer 2

Для составления канонического уравнения эллипса с центром в точке (2, -1) и известной малой осью равной 4, мы должны найти большую ось и эксцентриситет эллипса, чтобы затем записать его уравнение в стандартной форме.

Шаг 1: Найдем полуось "b" (половину длины малой оси). Зная, что малая ось равна 4, полуось b = 4 / 2 = 2.

Шаг 2: Найдем расстояние между центром эллипса и одной из директрис (e) и эксцентриситет эллипса (ε). Известно, что эксцентриситет эллипса связан с полуосью "a" (половиной длины большой оси) и полуосью "b" следующим образом: ε = √(a^2 - b^2). Также, расстояние "e" между центром и одной из директрис равно "a".

Из уравнения директрисы y + 5 = 0 следует, что расстояние между центром и директрисой равно 5 единиц.

Теперь, подставив известные значения, мы можем найти "a" и "ε":

e = 5 b = 2 ε = √(a^2 - b^2)

Шаг 3: Найдем "a" из уравнения эксцентриситета: ε = √(a^2 - b^2) ε^2 = a^2 - b^2 a^2 = ε^2 + b^2 a = √(ε^2 + b^2)

Подставим известные значения и рассчитаем "a":

a = √(5^2 + 2^2) = √29

Шаг 4: Теперь у нас есть полуоси "a" и "b" и центр эллипса (h, k) = (2, -1).

Каноническое уравнение эллипса с центром в точке (h, k) и полуосями "a" и "b" имеет вид:

(x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1

Подставим значения:

(x - 2)^2 / 29 + (y + 1)^2 / 4 = 1

Это и есть каноническое уравнение эллипса с заданными параметрами.