Question

В конус вписана правильная 4-угольная пирамида. Высота конуса - 1 см, его радиус - 2 см. Найти: а) боковое ребро пирамиды; б) сторону основы пирамиды; в) апофему; г) площадь основы пирамиды; д) площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

Решение во вложении....

Answer 2

Для решения задачи, нам понадобится использовать свойства вписанных 4-угольных пирамид и конусов.

Дано: Высота конуса (h) = 1 см, Радиус конуса (r) = 2 см.

а) Боковое ребро пирамиды: Поскольку пирамида правильная, то её боковые рёбра равны. Боковое ребро пирамиды также равно образующей конуса. Образующая конуса связана с радиусом и высотой конуса следующим соотношением: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$

Подставим известные значения: $l = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.24 \, \text{см}$

б) Сторона основы пирамиды: Поскольку пирамида правильная, то её основа - квадрат. Сторона квадрата (a) связана с радиусом конуса следующим соотношением: $a = 2 \cdot r$

Подставим известное значение радиуса: $a = 2 \cdot 2 = 4 \, \text{см}$

в) Апофема: Апофема пирамиды это высота боковой грани пирамиды. Так как пирамида правильная, то апофема равна половине диагонали основания (стороны квадрата). Апофема (d) связана со стороной квадрата (a) следующим соотношением: $d = \frac{a}{2}$

Подставим известное значение стороны квадрата: $d = \frac{4}{2} = 2 \, \text{см}$

г) Площадь основы пирамиды: Площадь основания пирамиды равна площади квадрата, а также сумме площадей всех четырёх треугольников, образованных диагоналями квадрата. Площадь квадрата (S) равна: $S = a^2$

Подставим известное значение стороны квадрата: $S = 4^2 = 16 \, \text{см}^2$

д) Площадь боковой поверхности пирамиды: Поскольку пирамида правильная, у неё боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Площадь одного такого треугольника можно найти, используя длину апофемы (d) и половину стороны основания (a/2). Площадь одного треугольника (S_triangle) равна: $S_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot \frac{a}{2}$

Подставим известные значения апофемы и стороны квадрата: $S_{\text{triangle}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{4}{2} = 2 \, \text{см}^2$

Так как у пирамиды четыре таких треугольника, то общая площадь боковой поверхности пирамиды равна: $S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\text{triangle}} = 4 \cdot 2 = 8 \, \text{см}^2$

Таким образом, ответы: а) Боковое ребро пирамиды: около 2.24 см. б) Сторона основы пирамиды: 4 см. в) Апофема: 2 см. г) Площадь основы пирамиды: 16 см^2. д) Площадь боковой поверхности пирамиды: 8 см^2.