Question

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF (с вершиной S) сторона основания равна 2, а боковое ребро равно √10. Найдите угол между прямой CD и плоскостью ABS.

Answer 1

Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF (с вершиной S). Сторона основания равна 2, а боковое ребро равно √10.

Проекция бокового ребра на основание равна стороне основания.

Отсюда находим высоту Н пирамиды.

Н = √(10 - 4) = √6.

Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат стороной ЕД по оси Оу, точкой F на оси Ох.

Определяем координаты точек, принадлежащих заданным прямой CD и плоскости ABS.

C(√3; 4; 0), D(0; 3; 0). Вектор DС = (√3; 1; 0), модуль равен 2.

А(2√3; 1; 0),В((2√3; 3; 0),  S(√3; 2; √6).

Уравнение плоскости ABS можно определить по такому выражению:

(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.                Где  (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точек соответственно.

Подставив в это выражение координаты точек A, B и S, приведя подобные и разделив всё выражение на коэффициент при х, чтобы он был равен 1 , получаем:  1x + 0y + (√2/2)z - 2√3 = 0.

Имеем направляющий вектор прямой и модуль:

s = {l; m; n}  √3    1 0 Модуль 2.

Вектор нормали плоскости имеет вид:  

                                               A B C  

  Ax + By + Cz + D = 0 1 0 √2/2    Модуль √6/2.

sin φ =|1*√3√+ 0*1 +(√2/2)*0|/(2*√6/2) = √3/√6 = 1/√2 = √2/2.

Угол равен: φ = arc sin(√2/2) = 45 градусов.

Answer 2

Чтобы найти угол между прямой CD и плоскостью ABS, давайте разберемся с геометрической конфигурацией этой пирамиды.

У нас есть правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Основание пирамиды - правильный шестиугольник ABCDEF. При этом сторона основания AB равна 2, а боковое ребро SC (или SD) равно √10.

Для начала, найдем высоту пирамиды. Обозначим точку O - центр основания ABCDEF, а точку H - проекцию вершины S на плоскость ABCDEF (центр масс основания ABCDEF). Тогда треугольник SOH прямоугольный, и мы можем найти высоту SH пирамиды:

SH² = SO² - OH²,

где SO - расстояние от вершины S до центра основания O, а OH - расстояние от центра основания O до точки H.

Так как пирамида правильная, то SO равно длине бокового ребра SC, а OH можно найти как высоту правильного треугольника ABC с основанием AB:

OH = (AB * √3) / 2 = (2 * √3) / 2 = √3.

Теперь можем найти SH:

SH² = (√10)² - (√3)² = 10 - 3 = 7,

SH = √7.

Теперь, чтобы найти угол между прямой CD и плоскостью ABS, обратимся к треугольнику CDS. Точка H лежит на прямой CD, и так как пирамида правильная, то медиана CH делит этот треугольник на два равнобедренных. Значит, угол между прямой CD и плоскостью ABS равен углу между медианой CH и плоскостью ABS.

Теперь посмотрим на треугольник ABC. Он равносторонний, и точка H - это его центр масс. Медиана CH совпадает с высотой BH, и так как треугольник ABC равносторонний, то высота BH является одновременно медианой и медианой, и высотой.

Теперь мы знаем длину высоты BH, равную √3, а также длину медианы CH, которую мы можем найти, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника CHD:

CH² = CD² - HD²,

где HD - длина проекции медианы CH на прямую CD. Так как треугольник CDS равнобедренный, то HD равно половине медианы BH:

HD = BH / 2 = √3 / 2.

Теперь можем найти CH:

CH² = (√10)² - (√3 / 2)² = 10 - 3/4 = 37/4.

CH = √(37/4) = √37 / 2.

Итак, у нас есть длины медианы CH и высоты BH в треугольнике ABC. Теперь можем найти угол между медианой CH и плоскостью ABS, используя соотношение медианы и высоты в равностороннем треугольнике:

Тангенс угла = (2/√3) = √3/3.

Теперь найдем сам угол:

Угол = arctan(√3/3) ≈ 30°.

Таким образом, угол между прямой CD и плоскостью ABS составляет примерно 30°.