Question

Отрезки AB и CD пересекаются в их середине E. Докадите, что BC параллельна AD

Answer 1

Рассмотрим четырёхугольник ABCD, его диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит он параллелограмм, значит его противоположные стороны параллельны, чтд.

Подробнее: Пусть O - точка пересечения, тогда треугольники AOD и BOC подобны по углу и отношению двух пар сторон(1=AO/OB=DO/OC, а углы равны как вертикальные при AB и CD). Подобие даёт равенство всех соответствующих углов, в частности углы OAD и OBC равны, а они являются накрест лежащими для прямы AD и BC, и секущей AB.

Answer 2

Для доказательства того, что отрезки BC и AD параллельны, воспользуемся теоремой о параллельных прямых, пересекаемых трезями.

Предположим, что отрезки AB и CD пересекаются в точке E, которая является их серединой. То есть, AE = EB и CE = ED.

Теперь рассмотрим треугольники CEB и AED.

У нас уже есть две стороны, равные между собой:

1. AE = EB
2. CE = ED

Теперь докажем, что угол CEB равен углу AED.

Так как точка E является серединой отрезков AB и CD, прямая AC проходит через точку E и делит отрезок BD на две равные части. То есть, точка E также является серединой отрезка BD.

Теперь рассмотрим треугольник BED.

У нас уже есть две стороны, равные между собой:

1. BE = ED (по определению точки E как середины отрезка BD)
2. CE = ED

Теперь докажем, что угол BED равен углу CED.

Угол CED и угол BED являются вертикальными углами и, следовательно, равны между собой.

Таким образом, мы получили, что у треугольника CEB и треугольника BED равны две стороны и один угол. Следовательно, эти два треугольника равны по стороне-углу-стороне (СУС).

Согласно теореме о равенстве треугольников, если два треугольника равны, то и их соответственные стороны параллельны.

Таким образом, мы доказали, что отрезки BC и AD параллельны друг другу.